DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

Lekcja 6 – Zbieżność bezwzględna szeregów. Kryterium Leibnitz’a.

Jesteś tutaj: Strona główna / Fora / Lekcja 6 – Zbieżność bezwzględna. Kryterium Leibnitz’a. (VIDEO)

Przeglądasz 6 wpisów - od 1 do 6 (z 6 łącznie)
  • Autor
    Posty
  • #9541
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

      Pobierz wzory na szeregi liczbowe (PDF) Pobierz wzory na granice (PDF) Pobierz wzory na pochodne (PDF) Pobierz wzory na całki nieoznaczone (PDF)

    [Zobacz cały post na stronie: Lekcja 6 – Zbieżność bezwzględna. Kryterium Leibnitz’a. (VIDEO)]

    #11360
    Anonim
    Nieaktywne

    lim ln(n)/n można wyliczyć prościej z Tw. Stolza. Nie na wszystkich uczelniach pochodne przerabia się przed szeregami.

    #11359
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Dzięki, to jest bardzo słuszna uwaga, omijamy w ten sposób całą „niezręczność” używania reguły de l’Hospitala.

    Chociaż trzeba umieć, oczywiście…

    Twierdzenie Stolza

    Jeśli  {{y}_{n}} rozbiega do  \infty i (przynajmniej od pewnego  n) rośnie (tzn.  {{y}_{n+1}}>{{y}_{n}}), wtedy:

     \underset {n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{x}_{n}}}{{{y}_{n}}}=\underset {n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}}{{{y}_{n}}-{{y}_{n-1}}}

    , o ile granica  \underset {n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}}{{{y}_{n}}-{{y}_{n-1}}} istnieje.

    Do naszej granicy…

     \underset {n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{ln n}{n}

    …można zastosować twierdzenie Stolza, bo ciąg w mianowniku  n rozbiega do  \infty i rośnie.

    Mamy więc:

     \underset {n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{ln n}{n}=\underset {n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{ln n-ln ( n-1 )}{n-( n-1 )}=\underset {n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{ln n-ln ( n-1 )}{1}=\underset {n\to \infty }{\mathop{lim }}\left[ ln n-ln ( n-1 ) \right]=\underset {n\to \infty }{\mathop{lim }}ln \frac{n}{n-1}=

     =\underset {n\to \infty }{\mathop{lim }}ln \frac{n}{n( 1-\tfrac{1}{n} )}=ln 1=0

    #10442
    Anonim
    Nieaktywne

    A jak obliczać szeregi o wyrazach wyłącznie ujemnych? Ja mam do zrobienia taki szereg:
    sum from n equals 1 to infinity of left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of 2 n plus 1 end exponent space \fraction numerator n over denominator 1 plus n squared end \fraction, a że 2n+1 to zawsze liczba nieparzysta, to ten szereg można zapisać też tak: sum from n equals 1 to infinity of space \fraction numerator negative n over denominator 1 plus n squared end \fraction, wyrazy tutaj będą zawsze ujemne, czy wystarczy tutaj wyłączyć – przed szereg i policzyć jak szereg o wyrazach nieujemnych?

    PS: Materiał na mojej uczelni obejmuje kryteria Cauchy’ego, D’Alemberta, porównawcze, Leibnitza i bezwzględną zbieżność.

    #10432
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

    sum from n equals 1 to infinity of left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of 2 n plus 1 end exponent space \fraction numerator n over denominator 1 plus n squared end \fraction, a że 2n+1 to zawsze liczba nieparzysta, to ten szereg można zapisać też tak: sum from n equals 1 to infinity of space \fraction numerator negative n over denominator 1 plus n squared end \fraction, wyrazy tutaj będą zawsze ujemne, czy wystarczy tutaj wyłączyć – przed szereg i policzyć jak szereg o wyrazach nieujemnych?

    Dokładnie tak, można „wyłączyć” przed szereg stałą, policzyć powstały szereg jak dla wyrazów nieujemnych i potem na koniec wziąć z minusem 🙂

    Dlatego mam do zbadania zbieżność szeregu: negative space sum from n equals 1 to infinity of space \fraction numerator n over denominator 1 plus n squared end \fraction

    Korzystam z kryterium porównawczego z Lekcji 3

    Wykazuję rozbieżność:

    \fraction numerator n over denominator 1 plus n squared end \fraction space greater or equal than space \fraction numerator n over denominator n squared plus n squared end \fraction equals \fraction numerator n over denominator 2 n squared end \fraction equals 1 half \times 1 over n space space space space<— Szereg harmoniczny, więc jest to szereg rozbieżny.

    Odp. Z rozbieżności szeregu sum from n equals 1 to infinity of 1 half \times 1 over n space space space spacena mocy kryterium porównawczego wynika rozbieżność szeregu sum from n equals 1 to infinity of space \fraction numerator n over denominator 1 plus n squared end \fraction , a więc i również rozbieżność szeregu negative space sum from n equals 1 to infinity of space \fraction numerator n over denominator 1 plus n squared end \fraction .

    #9542
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    ERRATA Video (całe) 02.02.2017

    Zrobiłem dużo poprawek w video, żeby zupełnie jasne było, że mam do czynienia z 3 rozłącznymi sytuacjami:

    • Szereg może być zbieżny bezwzględnie.
    • Szereg może nie być zbieżny bezwzględnie, ale w ogóle być zbieżny. Taki szereg jest zbieżny warunkowo.
    • Szereg może być rozbieżny

     

     

  • Musisz być zalogowany aby odpowiedzieć na ten temat.