DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK RED BULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

Lekcja 2 – Równania różniczkowe sprowadzalne do zmiennych rozdzielonych przez podstawienie

Jesteś tutaj: Strona główna / Fora / Lekcja 2 – Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych (VIDEO)

Przeglądasz 6 wpisów - od 1 do 6 (z 6 łącznie)
  • Autor
    Posty
  • #10889
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

      Pobierz wzory na równania różniczkowe I rzędu (PDF) Pobierz wzory na całki nieoznaczone (PDF) Pobierz wzory na pochodne (PDF) Pobierz tablice t
    [Zobacz cały post na stronie: Lekcja 2 – Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych (VIDEO)]

    #11596
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Pobierz Zadanie Domowe (PDF) Pobierz Rozwiązanie Zadania Domowego (PDF)
    [Zobacz cały post na stronie: Lekcja 2 – Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych (VIDEO)]

    #10908
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    ERRATA Zad. 1 d) 3.08

    Usunąłem z odpowiedzi stałą +6 w nawiasie. Wyniki i tak były równoważne z dodanymi innymi stałymi, albo w ogóle bez stałej.

    ERRATA Zad. 1 e) 7.08

    Usunąłem z odpowiedzi stałą -14 w nawiasie (z przyczyn jak wyżej).

    ERRATA Zad. 3 a) 7.08

    Jak wyżej.

    #10907
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Zadanie 1d

     3x-y+( 6x-2y+1 ){y}'=0

    Najpierw musimy trochę się pomęczyć, aby równanie doprowadzić do postaci  {y}'=f( ax+by+c ).

     3x-y+\left[ 2\cdot \frac{1}{2}( 6x-2y )+1 \right]{y}'=0

     3x-y+\left[ 2( 3x-y )+1 \right]{y}'=0

    Teraz podstawiam:

     t=3x-y

     {t}'=3-{y}'

     {y}'=3-{t}'

    Mam więc równanie:

     t+( 2t+1 )( 3-{t}' )=0

     t+6t-2t{t}'+3-{t}'=0

     -{t}'( 2t+1 )=-7t-3\quad /:\left[ -( 2t+1 ) \right]

     {t}'=\frac{7t+3}{2t+1}

     \frac{dt}{dx}=\frac{7t+3}{2t+1}

     \frac{( 2t+1 )dt}{7t+3}=dx

     \int{\frac{( 2t+1 )dt}{7t+3}}=\int{dx}

    Do całki po lewej dzielę najpierw dwa wielomiany:

     ( 2t+1 ):( 7t+3 )=\frac{2}{7}+\frac{\tfrac{1}{7}}{7t+3}

    I liczę:

     \int{\frac{( 2t+1 )dt}{7t+3}}=\int{\frac{2}{7}+\frac{\tfrac{1}{7}}{7t+3}dt}=\frac{2}{7}\int{dt}+\frac{1}{7}\int{\frac{1}{7t+3}dt}=\frac{2}{7}t+\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{7}ln | 7t+3 |+C=\frac{2}{7}t+\frac{1}{49}ln | 7t+3 |+C

    Wracając do równania mam:

     \frac{2}{7}t+\frac{1}{49}ln | 7t+3 |=x+C

    A wracając się z podstawieniem:

     \frac{2}{7}( 3x-y )+\frac{1}{49}ln | 7( 3x-y )+3 |=x+C

    Odp.  \frac{6}{7}x-\frac{2}{7}y+\frac{1}{49}ln | 21x-7y+3 |=x+C

    #10892
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Zadanie 1e

     2x+3y-1+( 4x+6y-5 ){y}'=0

     \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot ( 2x+3y )-1+( 4x+6y-5 ){y}'=0

     2x+3y-1+\left[ 2( 2x+3y )-5 \right]{y}'=0

     t=2x+3y

     {t}'=2+3{y}'

     3{y}'={t}'-2\quad /\cdot \tfrac{1}{3}

     {y}'=\frac{1}{3}{t}'-\frac{2}{3}

    Wracam z podstawieniami do równania:

     t-1+( 2t-5 )( \frac{1}{3}{t}'-\frac{2}{3} )=0

     ( 2t-5 )( \frac{1}{3}{t}'-\frac{2}{3} )=1-t\quad /:( 2t-5 )

     \frac{1}{3}{t}'-\frac{2}{3}=\frac{1-t}{2t-5}\quad /\cdot 3

     {t}'-2=\frac{3-3t}{2t-5}

     {t}'=\frac{3-3t}{2t-5}+2

     {t}'=\frac{3-3t}{2t-5}+\frac{2( 2t-5 )}{2t-5}

     {t}'=\frac{t-7}{2t-5}

     \frac{dt}{dx}=\frac{t-7}{2t-5}

     \frac{( 2t-5 )dt}{t-7}=dx

     \int{\frac{( 2t-5 )dt}{t-7}}=\int{dx}

     ( 2t-5 ):( t-7 )=2+\frac{9}{t-7}

     \int{\frac{( 2t-5 )dt}{t-7}}=\int{2dt}+\int{\frac{9}{t-7}dt}=2t+9ln | t-7 |+C

    Czyli, wracając do równania:

     2t+9ln | t-7 |=x+C

     2( 2x+3y )+9ln | 2x+3y-7 |=x+C

    Odp.  4x+6y+9ln | 2x+3y-7 |=x+C

    #10890
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Zadanie 3a

     3x-6y+2+( x-2y-1 ){y}'=0

    Postępując zgodnie ze schematem:

     3( x-2y )+2+( x-2y-1 ){y}'=0

     t=x-2y

     {t}'=1-2{y}'

     2{y}'=1-{t}'\quad /\cdot \frac{1}{2}

     {y}'=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{t}'

     3t+2+( t-1 )( \frac{1}{2}-\frac{1}{2}{t}' )=0

     ( t-1 )( \frac{1}{2}-\frac{1}{2}{t}' )=-3t-2\quad /:( t-1 )

     \frac{1}{2}-\frac{1}{2}{t}'=\frac{-3t-2}{t-1}\quad /\cdot 2

     1-{t}'=\frac{-6t-4}{t-1}

     {t}'=1-\frac{-6t-4}{t-1}

     {t}'=\frac{t-1}{t-1}-\frac{-6t-4}{t-1}

     \frac{dt}{dx}=\frac{7t+3}{t-1}

     \frac{( t-1 )dt}{7t+3}=dx

     \int{\frac{( t-1 )dt}{7t+3}}=\int{dx}

     \frac{t-1}{7t+3}=\frac{1}{7}-\frac{\tfrac{10}{7}}{7t+3}

     \int{\frac{( t-1 )dt}{7t+3}}=\frac{1}{7}\int{dt}-\frac{10}{7}\int{\frac{1}{7t+3}dt}=\frac{1}{7}t-\frac{10}{7}\cdot \frac{1}{7}\cdot ln | 7t+3 |+C=\frac{1}{7}t-\frac{10}{49}ln | 7t+3 |+C

     \frac{1}{7}( x-2y )-\frac{10}{49}ln | 7( x-2y )+3 |=x+C

  • Musisz być zalogowany aby odpowiedzieć na ten temat.