DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

Lekcja 3 – Równania i nierówności

Jesteś tutaj: Strona główna / Fora / Lekcja 3 – Równania i nierówności

Przeglądasz 15 wpisów - od 1 do 15 (z 17 łącznie)
  • Ten temat ma 16 odpowiedzi, 4 udzielających się, ostatnio wpisał/a coś 1 rok temu Krystian Karczyński.
  • Autor
    Posty
  • #15496
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    Lekcja zawiera prawie 4,5 godzinne video, a w nim 10 rozwiązanych zadań zamkniętych, 5 zadań kodowanych i 15 otwartych, dotyczących równań i nierówności na poziomie rozszerzonym.

    Lekcja przedstawia wiele ważnych zagadnień, takich jak: równania z modułami, nierówności z modułami, wzory Viete’a, przekształcenia wyrażeń (np. suma odwrotności pierwiastków, odwrotność kwadratów sumy pierwiastków itp.), wyznaczanie ilości rozwiązań w zależności od parametru „m”, układy równań i nierówności…

    Lekcja składa się z:


    Video

    • zadania testowe zamknięte – 10 zadań \left[06:23]
    • zadania kodowane – 5 zadań \left[01:12:50]
    • zadania otwarte – 15 zadań \left[01:49:04]

    [Zobacz cały post na stronie: https://akademia.etrapez.pl/wybor-kursu/kurs-matura-rozszerzona-czesc-1/lekcja-3-rownania-i-nierownosci-2/]

    • Ten temat został zmodyfikowany 2 lata, 3 miesiące temu przez Joanna Grochowska.
    #67121
    Szymon Górowski
    Student

    Dzień dobry, bardzo proszę o pomoc w zadaniu domowym z części 2, mianowicie chodzi mi o zadanie 3. Zrobiłem 3 warunki: m nie może być zerem, delta większa od 0, i ten ostatni dla f(-1)> lub <0 w zależności od tego czy m>lub<0. Mój wynik odstaje od tego podanego w odpowiedzi. Byłbym wdzięczny za pomoc.

    #67125
    Szymon Górowski
    Student

    Przepraszam chodzi o zadanie 13- literówka

    #67133
    Szymon Górowski
    Student

    Natomiast przy okazji w kolejnym zadaniu 14 mój wynik to x=(0,4). Musiałem się gdzieś pomylić i również byłbym wdzięczny za pomoc jeżeli jest to możliwe.

    Pozdrawiam

     

     

    #67142
    Szymon Górowski
    Student

    Przepraszam że to znowu ja ale proszę jeszcze o kolejne zadanie 15 – po zrobieniu tego podobnie jak w prezentacji wyszło mi że 8=4 co jest sprzecznością. Znów wynik w odpowiedziach jest inny.

    #67612
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

    Dzień dobry,

    Było: Panie Szymonie, sprawdziłam te 3 zadania są poprawne, w sensie odpowiedzi się zgadzają. 🙂 Niebawem rozpiszę całe rozwiązania krok po kroku.

    EDIT: Panie Szymonie, po rozwiązaniu zadań na Forum okazało się, że 13 i 14 są poprawne, ale jednak zadanie 15 miało błędną odpowiedź. Przepraszamy najmocniej!

    • Ta odpowiedź została zmodyfikowana 1 rok, 3 miesiące temu przez Joanna Grochowska. Powód: poprawa odpowiedzi, jedno zadanie jednak błędne
    #67718
    Szymon Górowski
    Student

    Tak tak wiem że są poprawne, po prostu ja się gdzieś gubię – będę wdzięczny za rozpisanie 😀

    #67779
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

    Zadanie 13

    Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla którego dwa różne pierwiastki równania m x squared plus open parentheses 2 m plus 1 close parentheses x plus 3 equals 0 spełniają warunek x subscript 1 space less than space minus 1 space less than space x subscript 2 .

     

    Z początkowego zdania mamy mieć DWA RÓŻNE PIERWIASTKI stąd pierwsze dwa warunki:

    1. space space m not equal to 0  (żeby w ogóle powstało równanie kwadratowe)

    2. space space space triangle greater than 0 (by były 2 pierwiastki)

    dokładam trzeci warunek dodatkowy:

    3. space space space x subscript 1 space less than space minus 1 space less than space x subscript 2

     

    Pierwszy warunek jest już rozpisany. Zajmuję się deltą:

    triangle equals open parentheses 2 m plus 1 close parentheses squared minus 4 times m times 3 equals 4 m squared plus 4 m plus 1 minus 12 m equals 4 m squared minus 8 m plus 1 space space bold greater than bold 0

    triangle subscript m equals left parenthesis negative 8 right parenthesis squared minus 4 times 4 times 1 equals 64 minus 16 equals 48

    m subscript 1 equals fraction numerator negative left parenthesis negative 8 right parenthesis minus square root of 48 over denominator 2 times 4 end fraction equals fraction numerator 8 minus 4 square root of 3 over denominator 8 end fraction equals 1 minus fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction

    m subscript 1 equals fraction numerator negative left parenthesis negative 8 right parenthesis plus square root of 48 over denominator 2 times 4 end fraction equals fraction numerator 8 plus 4 square root of 3 over denominator 8 end fraction equals 1 plus fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction

    m space element of open parentheses negative infinity comma space space 1 minus fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction close parentheses union open parentheses 1 plus fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction comma space infinity close parentheses

     

    Czyli na obecną chwilę mamy dwa warunki rozpisane:

    open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell m not equal to 0
m space element of open parentheses negative infinity comma space space 1 minus fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction close parentheses union open parentheses 1 plus fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction comma space infinity close parentheses end cell row cell.... end cell end table close

    Zajmuję się trzecim.

    Wartość -1 powinna znajdować się pomiędzy dwoma pierwiastkami. Trzeba tu rozważyć dwa przypadki – czy wykres paraboli jest ramionami do góry (tzn, gdy a>0) lub ramionami do dołu (gdy a<0). Uzależnione wtedy będzie położenie tej wartości -1.

    Jeśli rozważymy I przypadek:

    a greater than 0 space space space space rightwards double arrow space space bold italic m bold greater than bold 0  mamy sytuację mniej więcej taką:

    Jeśli gałęzie są skierowane do góry, wartość od (-1) powinna leżeć po środku, pomiędzy x1 a x2, stąd będzie znajdowała się poniżej zera. Czyli:

    bold italic f open parentheses bold minus bold 1 close parentheses bold less than bold 0

    m times open parentheses negative 1 close parentheses squared plus open parentheses 2 m plus 1 close parentheses times open parentheses negative 1 close parentheses plus 3 space less than 0

    m minus 2 m minus 1 plus 3 space less than 0

    negative m space less than negative 2 space space space divided by left parenthesis negative 1 right parenthesis

    m space greater than 2 space space space

    Oczywiście pamiętam o warunku początkowym z tego rozpatrywanego przypadku:

    open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell m space greater than 2 space space space end cell row cell m space greater than 0 end cell end table close rightwards double arrow space bold space bold italic m bold space bold greater than bold 2 bold space

     

    Jeśli rozważymy II przypadek:

    a less than 0 space space space space rightwards double arrow space space bold italic m bold less than bold 0  mamy sytuację mniej więcej taką:

    Jeśli gałęzie są skierowane do dołu, wartość od (-1) powinna leżeć po środku, pomiędzy x1 a x2, stąd będzie znajdowała się POWYŻEJ zera. Czyli:

    bold italic f open parentheses bold minus bold 1 close parentheses bold greater than bold 0

    m times open parentheses negative 1 close parentheses squared plus open parentheses 2 m plus 1 close parentheses times open parentheses negative 1 close parentheses plus 3 space greater than 0

    m minus 2 m minus 1 plus 3 space greater than 0

    negative m space greater than negative 2 space space space divided by colon left parenthesis negative 1 right parenthesis

    m space less than 2 space space space

    Oczywiście znów pamiętam o warunku początkowym z tego rozpatrywanego przypadku:

    open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell m space less than 2 space space space end cell row cell m space less than 0 end cell end table close rightwards double arrow space bold space bold italic m bold space bold less than bold 0 bold space

    Podsumowując przypadek I i II mam:

    m greater than 2 space space logical or space space m less than 0 space space space space space space rightwards double arrow space bold italic m bold element of open parentheses bold minus bold infinity bold comma bold 0 close parentheses bold union open parentheses bold 2 bold comma bold infinity close parentheses

     

    Ostatecznie mamy już wszystkie warunki z zadania rozpatrzone:

    open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell m not equal to 0
m space element of open parentheses negative infinity comma space space 1 minus fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction close parentheses union open parentheses 1 plus fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction comma space infinity close parentheses end cell row cell m element of open parentheses negative infinity comma 0 close parentheses union open parentheses 2 comma infinity close parentheses end cell end table close

    Stąd odpowiedź ostateczna:

    ODP.: bold italic m bold element of open parentheses bold minus bold infinity bold comma bold 0 close parentheses bold union open parentheses bold 2 bold comma bold infinity close parentheses

    Załącz pliki::
    #67904
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

    Zadanie 14

    Rozwiąż nierówność  2 minus root index 6 of fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction end root greater than cube root of fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction end root

     

    Zaczniemy oczywiście od DZIEDZINY: mamy tu pierwiastek (czyli to co pod pierwiastkiem jest większe lub równe zero), a także ułamek (więc to co w mianowniku jest równe od zera).

    Stad   D colon space space open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction greater or equal than 0 end cell row cell 2 x space not equal to 0 end cell end table close

    fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction greater or equal than 0
    open parentheses x plus 4 close parentheses times 2 x greater or equal than 0
    x plus 4 equals 0 space space space logical or space space 2 x equals 0
    x equals negative 4 space space logical or space space x equals 0

    Rozwiązanie tej nierówności:  x element of left parenthesis negative infinity comma space minus 4 greater than space union space less than 0 comma space plus infinity right parenthesis

    Łącząc to z drugim warunkiem, DZIEDZINA jest następująca:

    D colon space open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x element of left parenthesis negative infinity comma space minus 4 greater than union less than 0 comma space plus infinity right parenthesis end cell row cell x not equal to 0 end cell end table close space rightwards double arrow space bold italic x bold element of bold left parenthesis bold minus bold infinity bold comma bold space bold minus bold 4 bold greater than bold union open parentheses bold 0 bold comma bold plus bold infinity close parentheses

     

    Wracam do nierówności: 2 minus root index 6 of fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction end root greater than cube root of fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction end root

    Robię tutaj podstawienie:

    root index 6 of fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction end root equals t  oraz  cube root of fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction end root equals t squared

    ponieważ  t squared equals open parentheses root index 6 of fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction end root close parentheses squared equals open parentheses open parentheses fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction close parentheses to the power of 1 over 6 end exponent close parentheses squared equals open parentheses fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction close parentheses to the power of 1 over 6 times 2 end exponent equals open parentheses fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction close parentheses to the power of 1 third end exponent equals cube root of fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction end root

    Mam więc do rozwiązania równanie:

    2 minus t greater than t squared
minus t squared minus t plus 2 greater than 0 space space divided by times left parenthesis negative 1 right parenthesis
t squared plus t minus 2 less than 0
triangle equals 1 squared minus 4 times 1 times left parenthesis negative 2 right parenthesis equals 1 plus 8 equals 9
t subscript 1 equals fraction numerator negative 1 minus square root of 9 over denominator 2 times 1 end fraction equals fraction numerator negative 1 minus 3 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator negative 4 over denominator 2 end fraction equals negative 2
t subscript 2 equals fraction numerator negative 1 plus square root of 9 over denominator 2 times 1 end fraction equals fraction numerator negative 1 plus 3 over denominator 2 end fraction equals 2 over 2 equals 1

    Stąd: t element of open parentheses negative 2 comma 1 close parentheses

    Czyli:  root index 6 of fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction end root space element of open parentheses negative 2 comma 1 close parentheses

    Równoważne jest to układowi równań: open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell root index 6 of fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction end root space greater than negative 2 end cell row cell root index 6 of fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction end root space less than 1 end cell end table close

    Pierwsza nierówność jest ZAWSZE PRAWDZIWA, bo  root index 6 of... end root space greater or equal than 0 (pierwiastek stopnia parzystego jest zawsze nieujemny).

    Rozwiązuję drugą nierówność:

    root index 6 of fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction end root space less than 1 space space space space divided by left parenthesis... right parenthesis to the power of 6
fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction space less than 1
fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction minus 1 space less than 0
fraction numerator x plus 4 over denominator 2 x end fraction minus fraction numerator 2 x over denominator 2 x end fraction space less than 0
fraction numerator x plus 4 minus 2 x over denominator 2 x end fraction space less than 0
fraction numerator negative x plus 4 over denominator 2 x end fraction space less than 0
open parentheses negative x plus 4 close parentheses times 2 x space less than 0
space x equals 4 space space logical or space x equals 0

    Mamy więc rozwiązanie nierówności: x element of open parentheses negative infinity comma 0 close parentheses union open parentheses 4 comma infinity close parentheses

    Łącząc to z dziedziną:

    open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x element of open parentheses negative infinity comma 0 close parentheses union open parentheses 4 comma infinity close parentheses end cell row cell D colon space x element of left parenthesis negative infinity comma space minus 4 greater than union open parentheses 0 comma plus infinity close parentheses end cell end table close

    Ostateczne ROZWIĄZANIE:  bold italic x bold element of bold left parenthesis bold minus bold infinity bold comma bold space bold minus bold 4 bold greater than bold union open parentheses bold 4 bold comma bold plus bold infinity close parentheses

    #67913
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

    Zadanie 15

    Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których rozwiązaniem układu równań open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 2 x plus y equals 2 end cell row cell a x plus a y equals 4 end cell end table close jest para liczb o przeciwnych znakach.

     

    Wyznaczam z pierwszego równania jedną zmienną:

    y equals 2 minus 2 x

    Podstawiam do drugiego równania:

    a x plus a open parentheses 2 minus 2 x close parentheses equals 4
a x plus 2 a minus 2 a x equals 4
minus a x plus 2 a equals 4
minus a x equals 4 minus 2 a space space space divided by colon left parenthesis negative a right parenthesis space space space space bold left parenthesis bold italic g bold italic d bold italic y bold space bold italic a bold not equal to bold 0 bold right parenthesis

    x equals fraction numerator 4 minus 2 a over denominator negative a end fraction equals fraction numerator 2 a minus 4 over denominator a end fraction

    Podzieliłam powyższe równanie przez a, gdyż założyłam że jest ono różne od zera. Gdyby a equals 0 to:     a x plus a y equals 4
0 times x plus 0 times y equals 4
0 equals 4
S P R Z E C Z N O Ś Ć

     

    Tak wyliczony x podstawiam do drugiej zmiennej.

    y equals 2 minus 2 x equals 2 minus 2 times fraction numerator 2 a minus 4 over denominator a end fraction equals fraction numerator 2 a over denominator a end fraction minus fraction numerator 4 a minus 8 over denominator a end fraction equals fraction numerator 2 a minus 4 a plus 8 over denominator a end fraction equals fraction numerator negative 2 a plus 8 over denominator a end fraction

    x oraz y są przeciwnych znaków, tzn, że bold italic x bold times bold italic y bold less than bold 0

    fraction numerator 2 a minus 4 over denominator a end fraction times fraction numerator negative 2 a plus 8 over denominator a end fraction less than 0
fraction numerator open parentheses 2 a minus 4 close parentheses times open parentheses negative 2 a plus 8 close parentheses over denominator a squared end fraction less than 0

    Mianownik zawsze ma znak dodatni (bo to jest kwadrat dowolnej liczby a not equal to 0). Stąd aby wynik był ujemy, licznik musi być ujemny:

    open parentheses 2 a minus 4 close parentheses times open parentheses negative 2 a plus 8 close parentheses less than 0

    2 times open parentheses a minus 2 close parentheses times open parentheses negative 2 close parentheses times open parentheses a minus 4 close parentheses less than 0

    Miejsca zerowe: a minus 2 equals 0 space space space logical or space space space a minus 4 equals 0
a equals 2 space space space space space space space logical or space space space space space a equals 4

    Stąd:  a element of open parentheses negative infinity comma 2 close parentheses union open parentheses 4 comma infinity close parentheses

    ORAZ pamiętam o warunku wyżej z dziedziny, że a not equal to 0, zatem

    ODPOWIEDŹ: a element of open parentheses negative infinity comma 0 close parentheses union open parentheses 0 comma 2 close parentheses union open parentheses 4 comma infinity close parentheses

     

    Zatem przepraszamy najmocniej, w tym przypadku był błąd w odpowiedziach. Poprawimy to w najbliższym czasie.

    • Ta odpowiedź została zmodyfikowana 1 rok, 3 miesiące temu przez Joanna Grochowska.
    #68450
    Szymon Górowski
    Student

    Dziękuję za pomoc!😀

    #70535
    Szymon Górowski
    Student

    Dzień dobry, mam pytanie do prezentacji. Czy w zadaniu 16 znak nierówności nie powinien być większy bądź równy 0, a nie tylko większy? Bo na końcu wychodzi nam iloczyn liczby nieujemnej i liczby dodatniej, który jest nieujemny, a nie dodatni. Wystarczy, że a+b=0 i mamy wynik 0.

     

    Pozdrawiam

    #71857
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

    Panie Szymonie, tak tak, ma Pan w sumie rację. W zadaniu 16 w nagraniu poprawny jest znak " greater or equal than " , a nie tylko " greater than ". Poprawimy to w najbliższym czasie.

    Dziękujemy przeogromnie za całą pomoc 🙂

    #88560
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    ERRATA 24.01.2020

    Video od 1:49:31

    Zadanie 16

    W poleceniu było: a cubed plus 3 a squared b plus 3 a b squared plus b cubed minus 2 a squared c minus 2 b squared c minus 4 a b c greater than 0

    Powinno być: a cubed plus 3 a squared b plus 3 a b squared plus b cubed minus 2 a squared c minus 2 b squared c minus 4 a b c greater or equal than 0

    #88564
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    ERRATA 24.01.2020

    Zadanie Domowe

    Pytanie 10

    W poleceniu było: log subscript 4 open parentheses x squared minus 2 x close parentheses less than 64

    Powinno być: log subscript 4 open parentheses x squared minus 2 x close parentheses less than log subscript 4 3

  • Musisz być zalogowany aby odpowiedzieć na ten temat.