DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK RED BULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

Lekcja 2 – Wyrażenia algebraiczne

Jesteś tutaj: Strona główna / Fora / Lekcja 2 – Wyrażenia algebraiczne

Przeglądasz 8 wpisów - od 1 do 8 (z 8 łącznie)
  • Autor
    Posty
  • #12337
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Lekcja zawiera ponad 3,5 godzinne video, a w nim 20 rozwiązanych zadań zamkniętych i 20 otwartych, dotyczących wyrażeń algebraicznych.

    Lekcja składa się z:


    Video

    • zadania testowe zamknięte – 20 zadań \left[04:37]
    • zadania otwarte – 20 zadań \left[01:31:20]

    [Zobacz cały post na stronie: Lekcja 2 – Wyrażenia algebraiczne]

    #24520
    Wioletta Kowalczyk
    Student

    witam, czy byłaby możliwość zamieszczenia dowodów (szczegółowych rozwiązań) z pracy domowej z tego dzialu (wyrażeń algebraicznych)?

    #27615
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    Zad. 7

    Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność 5 a open parentheses a plus b close parentheses greater or equal than negative b open parentheses 9 b plus 7 a close parentheses.

     

    Zaczynamy od wymnożenia iloczynów po obu stronach nierówności:

    5 a open parentheses a plus b close parentheses greater or equal than negative b open parentheses 9 b plus 7 a close parentheses

    5 a squared plus 5 a b greater or equal than negative 9 b squared minus 7 a b

    Przenosimy wszystko na lewą stronę i porządkujemy:

    5 a squared plus 5 a b plus 9 b squared plus 7 a b greater or equal than 0

    5 a squared plus 12 a b plus 9 b squared greater or equal than 0

    Staramy się teraz znaleźć kwadrat pewnego wyrażenia lub sumę kwadratów pewnych wyrażeń lub liczb. Ponieważ 9 b squared equals open parentheses 3 b close parentheses squared, spróbujmy ułożyć wzór skróconego mnożenia zawierający elementy 12 a b oraz open parentheses 3 b close parentheses squared:

    5 a squared plus 4 \times a \times 3 b plus open parentheses 3 b close parentheses squared greater or equal than 0

    5 a squared plus 2 \times 2 a \times 3 b plus open parentheses 3 b close parentheses squared greater or equal than 0

    a squared plus 4 a squared plus 2 \times 2 a \times 3 b plus open parentheses 3 b close parentheses squared greater or equal than 0

    a squared plus open parentheses 2 a close parentheses squared plus 2 \times 2 a \times 3 b plus open parentheses 3 b close parentheses squared greater or equal than 0

    Korzystamy teraz ze wzoru skróconego mnożenia x squared plus 2 x y plus y squared equals open parentheses x plus y close parentheses squared:

    a squared plus open parentheses 2 a plus 3 b close parentheses squared greater or equal than 0

    Otrzymaliśmy sumę dwóch kwadratów: kwadrat liczby a oraz kwadrat wyrażenia 2 a plus 3 b. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest większy lub równy zeru. Zatem suma kwadratów dwóch dowolnych liczb rzeczywistych również jest większa lub równa zeru, co należało dowieść.

    #27619
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    Zad. 10

    Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest zawsze liczbą nieparzystą.

     

    Oznaczmy pewną liczbę całkowitą przez k.

    Kolejną liczbą całkowitą większą od k będzie liczba o 1 większa, a więc równa k plus 1.

     

    Kwadraty tych liczb są odpowiednio równe k squared oraz open parentheses k plus 1 close parentheses squared.

     

    Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest więc równa k squared plus open parentheses k plus 1 close parentheses squared.

     

    Aby wykazać, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest zawsze liczbą nieparzystą, wykonamy działania i uporządkujemy powyższe wyrażenie. Korzystamy najpierw ze wzoru skróconego mnożenia open parentheses a plus b close parentheses squared equals a squared plus 2 a b plus b squared:

    k squared plus open parentheses k plus 1 close parentheses squared equals k squared plus open parentheses k squared plus 2 \times k \times 1 plus 1 squared close parentheses equals k squared plus k squared plus 2 k plus 1 equals 2 k squared plus 2 k plus 1

    Dowolną liczbę nieparzystą można zapisać w postaci 2 n plus 1, gdzie n jest liczbą całkowitą (dowolną liczbę parzystą zapiszemy w postaci 2 n, bo liczba parzysta jest podzielna przez 2; liczba nieparzysta jest zawsze o 1 większa od pewnej liczby parzystej, stąd nieparzysta ma postać 2 n plus 1).

    W wyrażeniu 2 k squared plus 2 k plus 1 możemy wyciągnąć 2 przed nawias w pierwszych dwóch elementach: 2 k squared plus 2 k plus 1 equals 2 open parentheses k squared plus k close parentheses plus 1.

    open parentheses k squared plus k close parentheses jest pewną liczbą całkowitą, ponieważ k jest liczbą całkowitą. Mamy zatem 2 k squared plus 2 k plus 1 equals 2 open parentheses k squared plus k close parentheses plus 1 equals 2 \times n plus 1, czyli postać liczby nieparzystej, co należało dowieść.

     

    Można również przekształcić wyrażenie do postaci 2 k squared plus 2 k plus 1 i zamiast wyciągać 2 przed nawias z pierwszych dwóch wyrażeń napisać komentarz, że 2 k squared jest liczbą parzystą, bo jest podzielne przez 2, 2 k jest liczbą parzystą, bo jest podzielne przez 2, więc suma liczby parzystej i liczby parzystej i liczby 1 jest liczbą nieparzystą, co należało dowieść.

    #27620
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    Zad. 11

    Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x wyrażenie x squared plus 8 x plus 18 przyjmuje wartości dodatnie.

     

    Mamy wyrażenie kwadratowe x squared plus 8 x plus 18. Wykresem takiego wyrażenia jest parabola o ramionach skierowanych w górę, ponieważ współczynnik przy x squared jest równy 1, a więc jest dodatni.

     

    Aby takie wyrażenie kwadratowe przyjmowało same wartości dodatnie, nie może nigdy „zejść” poniżej osi OX, a nawet nie może nigdy „dotknąć” osi OX. Nie może mieć zatem miejsc zerowych. Otrzymamy wtedy parabolę leżącą w całości ponad osią OX, a więc wartości będą wtedy zawsze wyłącznie dodatnie.

     

    Skoro wyrażenie kwadratowe ma nie mieć miejsc zerowych, musi zachodzić warunek \capital delta less than 0. Obliczamy więc \capital delta i pokazujemy, że jest ona zawsze ujemna.

     

    a equals 1 comma space b equals 8 comma space c equals 18

    \capital delta equals b squared minus 4 a c equals 8 squared minus 4 \times 1 \times 18 equals 64 minus 72 equals negative 8 less than 0

     

    \Delta z podanego wyrażenia kwadratowego jest ujemna, więc wyrażenie to nie ma miejsc zerowych. Ramiona paraboli są skierowane w górę oraz parabola ta nie ma punktów wspólnych z osią OX, więc wyrażenie to przyjmuje tylko wartości dodatnie, co należało dowieść.

    #27621
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    Zad. 12

    Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność x y greater or equal than negative open parentheses \fraction numerator y minus x over denominator 2 end \fraction close parentheses squared.

     

    Zaczniemy od wykonania działań po prawej stronie nierówności:

    x y greater or equal than negative open parentheses \fraction numerator y minus x over denominator 2 end \fraction close parentheses squared

    x y greater or equal than negative \fraction numerator open parentheses y minus x close parentheses over denominator 2 squared end \fraction squared

    x y greater or equal than negative \fraction numerator open parentheses y minus x close parentheses over denominator 4 end \fraction squared

    Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia open parentheses a minus b close parentheses squared equals a squared minus 2 a b plus b squared:

    x y greater or equal than negative \fraction numerator y squared minus 2 x y plus x squared over denominator 4 end \fraction

    Mnożymy obie strony nierówności przez 4, aby pozbyć się mianownika. Licznik ułamka zostawiamy w nawiasie, bo przed ułamkiem stoi znak minus:

    4 x y greater or equal than negative open parentheses y squared minus 2 x y plus x squared close parentheses

    Porządkujemy i przenosimy wszystko na lewą stronę:

    4 x y greater or equal than negative y squared plus 2 x y minus x squared

    4 x y plus y squared minus 2 x y plus x squared greater or equal than 0

    x squared plus 2 x y plus y squared greater or equal than 0

    Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia open parentheses a plus b close parentheses squared equals a squared plus 2 a b plus b squared:

    open parentheses x plus y close parentheses squared greater or equal than 0

    Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest większy lub równy zeru, więc nierówność jest spełniona dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, co należało dowieść.

    #27624
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    Zad. 15

    Wykaż, że jeśli liczba naturalna k przy dzieleniu przez 6 daje resztę 1, to liczba 4 k squared plus 4 przy dzieleniu przez 6 daje resztę 2.

     

    Jeśli liczba naturalna k przy dzieleniu przez 6 daje resztę 1, to możemy zapisać, że k equals 6 n plus 1, gdzie n jest pewną liczbą naturalną n element of straight natural numbers. Z liczby k możemy wyciągnąć pewną ilość pełnych szóstek (i tę ilość oznaczamy przez n) i zawsze zostanie nam reszta 1.

     

    Podstawiamy k equals 6 n plus 1do wyrażenia 4 k squared plus 4, wykonujemy działania i doprowadzamy do najprostszej postaci. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia open parentheses a plus b close parentheses squared equals a squared plus 2 a b plus b squared:

    4 k squared plus 4 equals 4 open parentheses 6 n plus 1 close parentheses squared plus 4 equals 4 open square brackets open parentheses 6 n close parentheses squared plus 2 \times 6 n \times 1 plus 1 squared close square brackets plus 4 equals 4 open parentheses 36 n squared plus 12 n plus 1 close parentheses plus 4 equals

    equals 144 n squared plus 48 n plus 4 plus 4 equals 144 n squared plus 48 n plus 8

     

    Jeśli pewne wyrażenie przy dzieleniu przez 6 daje resztę 2, to możemy je zapisać jako 6 razy „coś” +2. Możemy od razu liczbę bez zmiennej n rozłożyć na taką sumę, aby otrzymać ten składnik „+2”, a następnie z całej reszty wyciągnąć przed nawias liczbę 6:

    144 n squared plus 48 n plus 8 equals 144 n squared plus 48 n plus 6 plus 2 equals 6 open parentheses 24 n squared plus 8 n plus 1 close parentheses plus 2.

    Wyrażenie open parentheses 24 n squared plus 8 n plus 1 close parentheses jest liczbą naturalną, ponieważ n jest liczbą naturalną. Otrzymaliśmy więc postać 6 \times N plus 2, gdzie N equals 24 n squared plus 8 n plus 1, a więc N element of straight natural numbers. Zatem 4 k squared plus 4 equals 6 N plus 2, więc 4 k squared plus 4 przy dzieleniu przez 6 daje resztę 2, co należało dowieść.

    #27625
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    Zad. 17

    Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych przy dzieleniu przez 8 daje resztę 2.

     

    liczba nieparzysta: 2 n plus 1, gdzie n element of straight integer numbers (n jest liczbą całkowitą)

    kolejna liczba nieparzysta: 2 n plus 3

     

    suma kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych: open parentheses 2 n plus 1 close parentheses squared plus open parentheses 2 n plus 3 close parentheses squared

     

    Mamy wykazać, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych przy dzieleniu przez 8 daje resztę 2, a więc że podane wyżej wyrażenie można zapisać w postaci 8 k plus 2, gdzie k jest liczbą całkowitą. Przekształcamy i porządkujemy podane wyrażenie, a następnie rozkładamy tak, aby można było przyjąć postać 8 k plus 2. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia open parentheses a plus b close parentheses squared equals a squared plus 2 a b plus b squared.

     

    open parentheses 2 n plus 1 close parentheses squared plus open parentheses 2 n plus 3 close parentheses squared equals open parentheses 2 n close parentheses squared plus 2 \times 2 n \times 1 plus 1 squared plus open parentheses 2 n close parentheses squared plus 2 \times 2 n \times 3 plus 3 squared equals

    equals 4 n squared plus 4 n plus 1 plus 4 n squared plus 12 n plus 9 equals 8 n squared plus 16 n plus 10 equals 8 n squared plus 16 n plus 8 plus 2 equals

    equals 8 open parentheses n squared plus 2 n plus 1 close parentheses plus 2 equals 8 k plus 2, gdzie k equals n squared plus 2 n plus 1, więc dla n element of straight integer numbers również k element of straight integer numbers.

     

    Przedstawiliśmy liczbę open parentheses 2 n plus 1 close parentheses squared plus open parentheses 2 n plus 3 close parentheses squared w postaci 8 k plus 2, gdzie k element of straight integer numbers, a więc udowodniliśmy, że liczba open parentheses 2 n plus 1 close parentheses squared plus open parentheses 2 n plus 3 close parentheses squared przy dzieleniu przez 8 daje resztę 2.

  • Musisz być zalogowany aby odpowiedzieć na ten temat.