DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

Lekcja 8 – Układy równań liniowych (metoda Gaussa)

Jesteś tutaj: Strona główna / Fora / Lekcja 8 – Układy równań liniowych (metoda Gaussa) (VIDEO)

Przeglądasz 8 wpisów - od 1 do 8 (z 8 łącznie)
  • Ten temat ma 7 odpowiedzi, 3 udzielających się, ostatnio wpisał/a coś 5 lata, 8 miesiące temu Krystian Karczyński.
  • Autor
    Posty
  • #10231
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

        Pobierz Lekcję na twardy dysk
    [Zobacz cały post na stronie: Lekcja 8 – Układy równań liniowych (metoda Gaussa) (VIDEO)]

    #11115
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Przykład 11

     \left\{ \begin{matrix} & x-2y+z+t-u=0 \\ & 2x+y-z-t+u=0 \\ & x+7y-5z-5t+5u=0 \\ & 3x-y-2z+t-u=0 \\ \end{matrix} \right.

    Kończymy pierwszy etap zadania.

    Teraz drugi etap.

    Zmienną  u zastępujemy parametrem:

     u={{\alpha }_{1}}

    Odczytujemy równania, zaczynając od tego od dołu:

     0x+0y+0z+9t-9{{\alpha }_{1}}=0

     9t=9{{\alpha }_{1}}\quad /:9

     t={{\alpha }_{1}}

    Teraz trzecie równanie (drugie od dołu):

     0x+0y+1z+4{{\alpha }_{1}}-4{{\alpha }_{1}}=0

     z=0

    Teraz drugie równanie:

     0x-1y+0\cdot 0+0{{\alpha }_{1}}+0{{\alpha }_{1}}=0

     y=0

    Pierwsze równanie:

     1x-2\cdot 0+1\cdot 0+1{{\alpha }_{1}}-1{{\alpha }_{1}}=0

     x=0

    Piszemy odpowiedź (koniecznie!):

     \left\{ \begin{matrix} & x=0 \\ & y=0 \\ & z=0 \\ & t={{\alpha }_{1}} \\ & u={{\alpha }_{1}},\quad {{\alpha }_{1}}\in R \ \end{matrix} \right.

    • Ta odpowiedź została zmodyfikowana 1 rok, 8 miesiące temu przez Krystian Karczyński.
    • Ta odpowiedź została zmodyfikowana 1 rok, 8 miesiące temu przez Krystian Karczyński.
    #10867
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Przykład 13

    UWAGA: Oczywiście pokazany sposób jest tylko jednym z wielu możliwych.

     \left\{ \begin{matrix} & 3x+2y+2z+2t=2 \\ & 2x+3y+2z+5t=3 \\ & 9x+y+4z-5t=1 \\ & 2x+2y+3z+4t=5 \\ & 7x+y+6z-t=7 \\ \end{matrix} \right.

    Zastępujemy zmienną  t parametrem:

     t={{\alpha }_{1}},\quad {{\alpha }_{1}}\in R

    Podstawiam do ostatniego, trzeciego równania:

     0x+0y-7z-6{{\alpha }_{1}}=-15

     -7z=6{{\alpha }_{1}}-15\quad /:( -7 )

     z=-\frac{6}{7}{{\alpha }_{1}}+\frac{15}{7}

    Podstawiam do drugiego równania:

     0x+1y-1( -\frac{6}{7}{{\alpha }_{1}}+\frac{15}{7} )+1{{\alpha }_{1}}=-2

     y+\frac{6}{7}{{\alpha }_{1}}-\frac{15}{7}+{{\alpha }_{1}}=-2

     y+\frac{13}{7}{{\alpha }_{1}}=\frac{1}{7}

     y=\frac{1}{7}-\frac{13}{7}{{\alpha }_{1}}

     -1x-4( \frac{1}{7}-\frac{13}{7}{{\alpha }_{1}} )-2( -\frac{6}{7}{{\alpha }_{1}}+\frac{15}{7} )-8{{\alpha }_{1}}=-4

     -x-\frac{4}{7}+\frac{52}{7}{{\alpha }_{1}}+\frac{12}{7}{{\alpha }_{1}}-\frac{30}{7}-8{{\alpha }_{1}}=-4

     -x+\frac{8}{7}{{\alpha }_{1}}-\frac{34}{7}=-4

     -x=-\frac{8}{7}{{\alpha }_{1}}+\frac{6}{7}\quad /\cdot ( -1 )

     x=\frac{8}{7}{{\alpha }_{1}}-\frac{6}{7}

    Czyli:

    Odp.  \left\{ \begin{matrix} & x=\frac{8}{7}{{\alpha }_{1}}-\frac{6}{7} \\ & y=\frac{1}{7}-\frac{13}{7}{{\alpha }_{1}} \\ & z=-\frac{6}{7}{{\alpha }_{1}}+\frac{15}{7} \\ & t={{\alpha }_{1}},\quad {{\alpha }_{1}}\in R \\ \end{matrix} \right.

    • Ta odpowiedź została zmodyfikowana 1 rok, 8 miesiące temu przez Krystian Karczyński.
    • Ta odpowiedź została zmodyfikowana 1 rok, 8 miesiące temu przez Krystian Karczyński.
    #10544
    Anonim
    Nieaktywne

    Dzień dobry
    Bardzo proszę o rozwiązanie układu metodą Gaussa
    2 x subscript 1 plus x subscript 2 minus x subscript 3 equals 1
x subscript 1 plus 2 x subscript 3 equals 2
3 x subscript 1 plus x subscript 2 plus x subscript 3 equals 3
    Według moich obliczeń : gdzie x2=t , telement ofR
    x1=4 over 5 minus 2 over 5 t
    x2=t
    x3=3 over 5 minus 4 over 5 t plus t

    #10541
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

    POPRAWNE ROZWIĄZANIE:

     

    Gauss

    Mam trzy zmienne, a dwa równania.

    Wprowadzam więc parametr t (za tą zmienną, która NIE jest nad krawędzią schodka), czyli
    Syntax error from line 1 column 198 to line 1 column 224. Unexpected '<mi '.

    0 x subscript 1 plus 1 x subscript 2 minus 5 x subscript 3 equals negative 3
    x subscript 2 minus 5 \times t equals negative 3
    x subscript 2 equals negative 3 plus 5 t

    1 x subscript 1 plus 0 x subscript 2 plus 2 x subscript 3 equals 2
    x subscript 1 plus 2 \times t equals 2
    x subscript 1 equals 2 minus 2 t

    Syntax error from line 1 column 542 to line 1 column 568. Unexpected '<mi '.

     

    Pani rozwiązania też są poprawne, gdyż wzięła Pani zmienną x subscript 2 jako tą z parametrem. Po przekształceniach wychodzi Pani wynik 😉
    Jednak przyjęło się w metodzie Gaussa, że z parametrami bierze się zmienne, które nie są na krawędzie schodka, czyli w tym przypadku jak wyżej zostało napisane zmienna x subscript 3  .

    #10519
    Anonim
    Nieaktywne

    Dzień dobry dziękuję za odpowiedź już wiem gdzie zrobiłam błąd. Mam pytanie czy w pierwszej macierzy nie powinno być : 2   1   -1|1
    1   0   2 |2
    3  1     1| 3         Może Pani to sprawdzić , jeśli tak to wynik mi  nie wyszedł , ponieważ jest to układ sprzeczny

    #10501
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

    Przepraszam, macierz i obliczenia już poprawiłam w poście wyżej 🙂

    Po kilka działaniach wyszedł mi wiersz zawierający same zera – dlatego go wykreśliłam. Oznacza to, że układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od parametru t.

    Nie może to więc być układ sprzeczny (układ sprzeczny byłby wtedy, gdy w wierszu po lewej stronie kreski są zera, ale po prawej liczba różna od zera).

    #10232
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

    Przykład 9:

    open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 2 x plus y plus z equals 1 end cell row cell 3 x minus y plus 3 z equals 2 end cell row cell x plus y plus z equals 0 end cell row cell x minus y plus z equals 1 end cell end table close

    Gauss004

    Odczytuję rozwiązania od dołu, czyli z trzeciego równania:

    4 z equals negative 2 space space space divided by space colon 4
    z equals negative 1 half

    Z drugiego teraz równania:

    y plus z equals negative 1
    y minus 1 half equals negative 1
    y equals negative 1 plus 1 half equals negative 1 half

    I na koniec pierwsze równanie:

    x plus y plus z equals 0
    x minus 1 half minus 1 half equals 0
    x minus 1 equals 0
    x equals 1

    Mam więc ostateczną odpowiedź:

    open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals 1 end cell row cell y equals negative 1 half end cell row cell z equals negative 1 half end cell end table close

  • Musisz być zalogowany aby odpowiedzieć na ten temat.