DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

Lekcja 1R – Definicja i własności funkcji

Jesteś tutaj: Strona główna / Fora / Lekcja 1R – Definicja i własności funkcji

Przeglądasz 6 wpisów - od 1 do 6 (z 6 łącznie)
  • Ten temat ma 5 odpowiedzi, 4 udzielających się, ostatnio wpisał/a coś 1 rok, 2 miesiące temu Szymon Górowski.
  • Autor
    Posty
  • #12353
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Lekcja zawiera prawie 3 godzinne video, a w nim kilkadziesiąt rozwiązanych przykładów. Wprowadza do podstawowych własności funkcji, tym razem dotyczących poziomu rozszerzonego.


    Video

    • monotoniczność funkcji \left[05:35]
    • wykazywanie oraz sprawdzanie monotoniczności – 4 przykłady \left[09:10]
    • okresowość funkcji \left[49:25]
    • odczytywanie podstawowych wartości z wykresu – 2 przykłady \left[57:12]
    • parzystość i nieparzystość funkcji \left[01:09:25]
    • sprawdzanie parzystości i nieparzystości funkcji – 7 przykładów \left[01:15:40]
    • różnowartościowość funkcji \left[01:30:30]
    • wykazywanie funkcji różnowartościowych – 6 przykładów \left[01:39:32]
    • równość funkcji \left[02:02:25]
    • równość funkcji – 4 przykłady \left[02:03:17]
    • funkcja określona przedziałami \left[02:12:00]
    • funkcja z modułem – 2 przykłady \left[02:27:28]

    [Zobacz cały post na stronie: Lekcja 1R – Definicja i własności funkcji]

    #48860
    Sławomir
    Student

    Witam,

    czy można prosić o rozpisanie zadania z części 2 , zadanie 1 wykaż, że funkcja f(x)…. przykład e) ten z minusem i pierwiastkiem – coś ten minus przed pierwiastkiem mnie bałamuci:) Z góry dziekuję

    #48915
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    Zad. 1

    e) Wykaż, że funkcja f open parentheses x close parentheses equals negative square root of 3 minus x end root jest rosnąca.

    Ustalamy dziedzinę:

    3 minus x greater or equal than 0
minus x greater or equal than negative 3
x less or equal than 3

     

    Niech x subscript 1 comma space x subscript 2 element of left parenthesis negative infinity comma 3 greater than oraz x subscript 1 less than x subscript 2.

     

    Badamy znak wyrażenia f open parentheses x subscript 1 close parentheses minus f open parentheses x subscript 2 close parentheses:

    f open parentheses x subscript 1 close parentheses minus f open parentheses x subscript 2 close parentheses equals negative square root of 3 minus x subscript 1 end root minus open parentheses negative square root of 3 minus x subscript 2 end root close parentheses equals negative square root of 3 minus x subscript 1 end root plus square root of 3 minus x subscript 2 end root equals negative open parentheses square root of 3 minus x subscript 1 end root minus square root of 3 minus x subscript 2 end root close parentheses equals

    equals negative open parentheses square root of 3 minus x subscript 1 end root minus square root of 3 minus x subscript 2 end root close parentheses times fraction numerator square root of 3 minus x subscript 1 end root plus square root of 3 minus x subscript 2 end root over denominator square root of 3 minus x subscript 1 end root plus square root of 3 minus x subscript 2 end root end fraction equals

    equals negative fraction numerator open parentheses square root of 3 minus x subscript 1 end root minus square root of 3 minus x subscript 2 end root close parentheses times open parentheses square root of 3 minus x subscript 1 end root plus square root of 3 minus x subscript 2 end root close parentheses over denominator square root of 3 minus x subscript 1 end root plus square root of 3 minus x subscript 2 end root end fraction equals negative fraction numerator open parentheses square root of 3 minus x subscript 1 end root close parentheses squared minus open parentheses square root of 3 minus x subscript 2 end root close parentheses squared over denominator square root of 3 minus x subscript 1 end root plus square root of 3 minus x subscript 2 end root end fraction equals

    equals negative fraction numerator open parentheses 3 minus x subscript 1 close parentheses minus open parentheses 3 minus x subscript 2 close parentheses over denominator square root of 3 minus x subscript 1 end root plus square root of 3 minus x subscript 2 end root end fraction equals negative fraction numerator 3 minus x subscript 1 minus 3 plus x subscript 2 over denominator square root of 3 minus x subscript 1 end root plus square root of 3 minus x subscript 2 end root end fraction equals negative fraction numerator negative x subscript 1 plus x subscript 2 over denominator square root of 3 minus x subscript 1 end root plus square root of 3 minus x subscript 2 end root end fraction equals

    equals fraction numerator x subscript 1 minus x subscript 2 over denominator square root of 3 minus x subscript 1 end root plus square root of 3 minus x subscript 2 end root end fraction

     

    Ponieważ założyliśmy, że x subscript 1 less than x subscript 2, a więc x subscript 1 minus x subscript 2 less than 0, to wyrażenie w liczniku jest ujemne.

    W mianowniku mamy sumę dwóch wyrażeń nieujemnych, przy czym wyrażenia te nie mogą być jednocześnie równe 0, ponieważ x subscript 1 less than x subscript 2, a więc x subscript 1 i x subscript 2 nie mogą być sobie równe, jeśli więc jedno z wyrażeń square root of 3 minus x subscript 1 end root i square root of 3 minus x subscript 2 end root jest równe 0, to drugie na pewno ma wartość inną niż 0. Zatem suma w mianowniku jest dodatnia.

    Mamy więc ułamek, w którym licznik jest ujemny i mianownik dodatni, a więc cały ułamek przyjmuje wartość ujemną.

     

    f open parentheses x subscript 1 close parentheses minus f open parentheses x subscript 2 close parentheses equals fraction numerator x subscript 1 minus x subscript 2 over denominator square root of 3 minus x subscript 1 end root plus square root of 3 minus x subscript 2 end root end fraction equals open square brackets minus over plus close square brackets less than 0

    Zatem f open parentheses x subscript 1 close parentheses minus f open parentheses x subscript 2 close parentheses less than 0, a więc f open parentheses x subscript 1 close parentheses less than f open parentheses x subscript 2 close parentheses.

     

    Mamy więc x subscript 1 less than x subscript 2 space rightwards double arrow space f open parentheses x subscript 1 close parentheses less than f open parentheses x subscript 2 close parentheses, zatem funkcja f jest rosnąca.

    • Ta odpowiedź została zmodyfikowana 1 rok, 6 miesiące temu przez Anna Zalewska.
    #71892
    Szymon Górowski
    Student

    Witam, w zadaniu domowym w części 2 w zadaniu 1 i ostatnim podpunkcie h) ta funkcja jest malejąca. Zatem należy zmienić treść na nie jest rosnąca lub pozostawić treść zadania ale zmienić współczynnik 2 na -2.

    Pozdrawiam serdecznie

    #72130
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    Panie Szymonie,

    to zadanie jest sformułowane prawidłowo, tylko jest podchwytliwe 🙂

    Ta funkcja nie jest malejąca w zbiorze straight real numbers backslash open curly brackets 0 close curly brackets. Jest malejąca w zbiorze open parentheses negative infinity comma 0 close parentheses oraz jest malejąca w zbiorze open parentheses 0 comma plus infinity close parentheses, natomiast nie jest malejąca w sumie tych zbiorów.

     

    Funkcja f jest malejąca w zbiorze A, jeśli z faktu, że dla pewnych x subscript 1 comma space x subscript 2 space element of space A zachodzi x subscript 1 less than x subscript 2 wynika, że f open parentheses x subscript 1 close parentheses greater than f open parentheses x subscript 2 close parentheses.

    Dla funkcji f open parentheses x close parentheses equals 2 over x oraz zbioru straight real numbers backslash open curly brackets 0 close curly brackets weźmy x subscript 1 equals negative 1 oraz x subscript 2 equals 1. Wtedy f open parentheses x subscript 1 close parentheses equals f open parentheses negative 1 close parentheses equals fraction numerator 2 over denominator negative 1 end fraction equals negative 2 oraz f open parentheses x subscript 2 close parentheses equals f open parentheses 1 close parentheses equals 2 over 1 equals 2. Mamy x subscript 1 less than x subscript 2 oraz f open parentheses x subscript 1 close parentheses less than f open parentheses x subscript 2 close parentheses, zatem funkcja f nie jest malejąca w zbiorze straight real numbers backslash open curly brackets 0 close curly brackets. Warunek ten jest natomiast spełniony osobno w zbiorach open parentheses negative infinity comma 0 close parentheses oraz open parentheses 0 comma plus infinity close parentheses.

    #72292
    Szymon Górowski
    Student

    Dziękuję za odpowiedź, faktycznie kluczem był ten zbiór i rzeczywiście podchwytliwe.😀

    Pozdrawiam 😀

  • Musisz być zalogowany aby odpowiedzieć na ten temat.