DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

Lekcja 4 – Obliczanie długości łuków, objętości i pól powierzchni brył obrotowych

Jesteś tutaj: Strona główna / Fora / Lekcja 4 – Inne zastosowania całek oznaczonych (VIDEO)

Przeglądasz 9 wpisów - od 1 do 9 (z 9 łącznie)
  • Autor
    Posty
  • #9523
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

      Pobierz wzory na zastosowania całek (PDF) Pobierz wzory na całki (PDF) Pobierz tablice trygonometryczne (PDF) Pobierz schemat na całki wymierne
    [Zobacz cały post na stronie: Lekcja 4 – Inne zastosowania całek oznaczonych (VIDEO)]

    #11604
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Pobierz Zadanie Domowe (PDF) Pobierz Rozwiązanie Zadania Domowego (PDF)
    [Zobacz cały post na stronie: Zadanie domowe do Lekcji 4]

    #10520
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

    Zadanie 1:

    y equals 2 square root of 2 x space space space comma space x element of less than 0 comma 1 greater than

    y apostrophe equals open parentheses 2 square root of 2 x close parentheses space apostrophe equals 2 square root of 2

    L equals integral subscript a superscript b square root of 1 plus open square brackets f apostrophe left parenthesis x right parenthesis close square brackets squared end root d x equals integral subscript 0 superscript 1 square root of 1 plus open square brackets 2 square root of 2 close square brackets squared end root d x equals integral subscript 0 superscript 1 square root of 1 plus 4 \times 2 end root d x equals integral subscript 0 superscript 1 square root of 9 d x equals integral subscript 0 superscript 1 3 space d x equals 3 \times integral subscript 0 superscript 1 1 space d x equals

    3 \times open square brackets x close square brackets subscript 0 superscript 1 equals 3 \times open square brackets 1 minus 0 close square brackets equals 3 \times 1 equals 3

    #10517
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

    Zadanie 4

    y equals ln left parenthesis 1 minus x squared right parenthesis space space space comma space space space 0 less or equal than x less or equal than 1 half

    y apostrophe equals open parentheses ln left parenthesis 1 minus x squared right parenthesis space close parentheses apostrophe equals \fraction numerator 1 over denominator 1 minus x squared end \fraction \times open parentheses 1 minus x squared close parentheses apostrophe equals \fraction numerator 1 over denominator 1 minus x squared end \fraction \times open parentheses negative 2 x close parentheses equals \fraction numerator negative 2 x over denominator 1 minus x squared end \fraction

    L equals integral subscript a superscript b square root of 1 plus open square brackets f apostrophe left parenthesis x right parenthesis close square brackets squared end root d x equals integral subscript 0 superscript 1 half end superscript square root of 1 plus open square brackets \fraction numerator negative 2 x over denominator 1 minus x squared end \fraction close square brackets squared end root d x equals integral subscript 0 superscript 1 half end superscript square root of 1 plus \fraction numerator 4 x squared over denominator open parentheses 1 minus x squared close parentheses squared end \fraction end root d x equals integral subscript 0 superscript 1 half end superscript square root of \fraction numerator open parentheses 1 minus x squared close parentheses squared plus 4 x squared over denominator open parentheses 1 minus x squared close parentheses squared end \fraction end root d x equals integral subscript 0 superscript 1 half end superscript square root of \fraction numerator 1 minus 2 x squared plus x to the power of 4 plus 4 x squared over denominator open parentheses 1 minus x squared close parentheses squared end \fraction end root space d x equals

    integral subscript 0 superscript 1 half end superscript square root of \fraction numerator 1 plus 2 x squared plus x to the power of 4 over denominator open parentheses 1 minus x squared close parentheses squared end \fraction end root space d x equals integral subscript 0 superscript 1 half end superscript square root of open parentheses 1 plus x squared close parentheses squared over open parentheses 1 minus x squared close parentheses squared end root space d x equals integral subscript 0 superscript 1 half end superscript \fraction numerator x squared plus 1 over denominator 1 minus x squared end \fraction space d x equals integral subscript 0 superscript 1 half end superscript \fraction numerator negative open parentheses negative x squared minus 1 close parentheses over denominator 1 minus x squared end \fraction space d x equals integral subscript 0 superscript 1 half end superscript minus \fraction numerator negative x squared plus 1 minus 2 over denominator negative x squared plus 1 end \fraction space d x equals integral subscript 0 superscript 1 half end superscript open parentheses negative 1 minus \fraction numerator 2 over denominator x squared minus 1 end \fraction close parentheses space d x

    Rozkładam wyrażenie z ułamkiem na czynniki zgodnie ze wskazówkami z lekcji:

    https://etrapez.pl/lesson/lekcja-5-calki-wymierne/

    \fraction numerator 2 over denominator left parenthesis x plus 1 right parenthesis \times left parenthesis x minus 1 right parenthesis end \fraction equals \fraction numerator A over denominator left parenthesis x plus 1 right parenthesis end \fraction plus \fraction numerator B over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis end \fraction space space space space space divided by space \times left parenthesis x plus 1 right parenthesis \times left parenthesis x minus 1 right parenthesis

    2 equals A left parenthesis x minus 1 right parenthesis space plus B left parenthesis x plus 1 right parenthesis
    2 equals A x minus A space plus B x plus B
    2 equals x left parenthesis A plus B right parenthesis minus A plus B
    open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell A plus B equals 0 end cell row cell negative A plus B equals 2 end cell end table close
    2 B equals 2 space space space divided by colon 2
    B equals 1
    A plus 1 equals 0 space space space space rightwards double arrow space A equals negative 1

    Wracając do mojej całki:

    integral subscript 0 superscript 1 half end superscript open parentheses negative 1 minus \fraction numerator 2 over denominator x squared minus 1 end \fraction close parentheses space d x equals integral subscript 0 superscript 1 half end superscript open parentheses negative 1 minus \fraction numerator 1 over denominator x minus 1 end \fraction plus \fraction numerator 1 over denominator x plus 1 end \fraction close parentheses space d x equals negative integral subscript 0 superscript 1 half end superscript 1 space space d x minus integral subscript 0 superscript 1 half end superscript \fraction numerator 1 over denominator x minus 1 end \fraction space d x plus integral subscript 0 superscript 1 half end superscript \fraction numerator 1 over denominator x plus 1 end \fraction space d x

    Na boku jeszcze liczę całki:

    integral subscript blank \fraction numerator 1 over denominator x minus 1 end \fraction d x equals open vertical bar table row cell x minus 1 equals t end cell row cell d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral subscript blank 1 over t d t equals ln vertical line t vertical line plus C equals ln vertical line x minus 1 vertical line plus C

    integral subscript blank \fraction numerator 1 over denominator x plus 1 end \fraction d x equals open vertical bar table row cell x plus 1 equals v end cell row cell d x equals d v end cell end table close vertical bar equals integral subscript blank 1 over v d v equals ln vertical line v vertical line plus C equals ln vertical line x plus 1 vertical line plus C

    Co daje mi ostatecznie:

    negative integral subscript 0 superscript 1 half end superscript 1 space space d x minus integral subscript 0 superscript 1 half end superscript \fraction numerator 1 over denominator x minus 1 end \fraction space d x plus integral subscript 0 superscript 1 half end superscript \fraction numerator 1 over denominator x plus 1 end \fraction space d x equals negative open square brackets x close square brackets subscript 0 superscript 1 half end superscript minus open square brackets ln vertical line x minus 1 vertical line close square brackets subscript 0 superscript 1 half end superscript plus open square brackets l n vertical line x plus 1 vertical line close square brackets subscript 0 superscript 1 half end superscript equals

    negative open square brackets 1 half minus 0 close square brackets minus open square brackets l n vertical line minus 1 half vertical line minus l n vertical line minus 1 vertical line close square brackets plus open square brackets l n open vertical bar 3 over 2 close vertical bar minus space l n open vertical bar 1 close vertical bar close square brackets space equals space minus 1 half minus l n 1 half plus l n 1 plus l n 3 over 2 minus space l n 1 equals negative 1 half plus l n \fraction numerator begin display sty\le 3 over 2 end sty\le over denominator begin display sty\le 1 half end sty\le end \fraction equals space minus 1 half plus l n 3

     

    #10275
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

    ERRATA 10.02.2016

    Zadanie 3

    Odpowiedź była: 14 over 3

    Powinna być: 28 over 3

    Zadanie 3

    9 y squared equals 4 x cubed space space space space space space x element of less than 0 comma 3 greater than
    y squared equals 4 over 9 x cubed
    y subscript 1 equals 2 over 3 square root of x cubed end root equals 2 over 3 x to the power of 3 over 2 end exponent space space space space space space logical or space space space space space y subscript 2 equals negative 2 over 3 square root of x cubed end root equals negative 2 over 3 x to the power of 3 over 2 end exponent

    Mam więc dwie krzywe, których długość chcę obliczyć. Liczę dla każdej z osobna, a na końcu zsumuje je:

    y subscript 1 apostrophe equals open parentheses 2 over 3 x to the power of 3 over 2 end exponent space close parentheses apostrophe equals 2 over 3 \times 3 over 2 x to the power of 3 over 2 minus 1 end exponent space equals x to the power of 1 half end exponent

    Analogicznie   y subscript 2 apostrophe equals open parentheses negative 2 over 3 x to the power of 3 over 2 end exponent space close parentheses apostrophe equals negative 2 over 3 \times 3 over 2 x to the power of 3 over 2 minus 1 end exponent space equals negative x to the power of 1 half end exponent

    Liczę długość pierwszego łuku:

    L subscript 1 equals integral subscript a superscript b square root of 1 plus open square brackets f apostrophe left parenthesis x right parenthesis close square brackets squared end root d x equals integral subscript 0 superscript 3 square root of 1 plus open square brackets x to the power of 1 half end exponent close square brackets squared end root d x equals integral subscript 0 superscript 3 square root of 1 plus x end root d x equals open vertical bar table row cell 1 plus x equals t end cell row cell d x equals d t end cell end table close vertical bar space equals integral subscript 0 superscript 3 square root of t d t equals integral subscript 0 superscript 3 t to the power of 1 half end exponent d t equals large blank

    open square brackets \fraction numerator 1 over denominator begin display sty\le 1 half end sty\le plus 1 end \fraction space t to the power of 1 half plus 1 end exponent close square brackets subscript 0 superscript 3 equals open square brackets 2 over 3 t to the power of 3 over 2 end exponent close square brackets subscript 0 superscript 3 space equals space open square brackets 2 over 3 left parenthesis 1 plus x right parenthesis to the power of 3 over 2 end exponent close square brackets subscript 0 superscript 3 equals 2 over 3 left parenthesis 1 plus 3 right parenthesis to the power of 3 over 2 end exponent minus 2 over 3 left parenthesis 1 plus 0 right parenthesis to the power of 3 over 2 end exponent equals 2 over 3 \times open parentheses 8 minus 1 close parentheses equals 2 over 3 \times 7 equals 14 over 3

    Liczę długość drugiego łuku:

    L subscript 2 equals integral subscript a superscript b square root of 1 plus open square brackets f apostrophe left parenthesis x right parenthesis close square brackets squared end root d x equals integral subscript 0 superscript 3 square root of 1 plus open square brackets negative x to the power of 1 half end exponent close square brackets squared end root d x space space equals space integral subscript 0 superscript 3 square root of 1 plus x end root d x space equals space space... space equals space 14 over 3
    Jak widać obliczenia byłby analogicznie jak przy długości pierwszego łuku (ta sama całka).

    Stąd ostatecznie mam:

    L equals L subscript 1 plus L subscript 2 equals 14 over 3 plus 14 over 3 equals 28 over 3

     

    #9540
    Anonim
    Nieaktywne

    Czy zadanie nr 4 jest na pewno prawidłowo rozwiązane? Mnie wychodzi inny wynik. W swoich obliczeniach dokonuję dzielenia wielomianów i w ten sposób przechodzę na ułamki proste.

    Zamieniając jednak na ułamki proste, czy nie powinniśmy przyjąć, że A/x-1 a B/x+1?

    Wzór skróconego mnożenia:

    a^2 – b^2 = (a-b) (a+b) nie zaś (a+b) * (a-b) – ten zapis wpływa na końcowe wartości licznika A oraz licznika B.

     

    W załączeniu przedstawiam moje rozwiązanie. Proszę o wyjaśnienie lub ewentualne wyprowadzenie mnie z błędu, który popełniam.

     

    Z góry dziękuję.

     

     

    #9536
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

    Panie Janku, już tłumaczę co i jak z tym przykładem 🙂

    Rozwiązanie Zadania 4. przedstawione przez Pana w załączeniu (widzę same wyniki, więc trudno mi jest się odnieść do poszczególnych działań) jest jak najbardziej poprawne. Różni się od tego przedstawionego wyżej jedynie liczbą przy logarytmie, ale można przekształcić je z odpowiednich własności logarytmów i potęg i jak się okazuje, wyniki są identyczne:

    negative 1 half plus ln 3 space equals space minus 1 half plus ln open parentheses 1 third close parentheses to the power of negative 1 end exponent space space equals space minus 1 half plus space left parenthesis negative 1 right parenthesis \times ln open parentheses 1 third close parentheses space equals space minus 1 half minus ln 1 third space
    Czyli tutaj się zgadza 🙂

    Co do rozpisania wzoru skróconego mnożenia, nie ma kompletnie znaczenia w jaki sposób je rozbijemy
    a^2 – b^2 = (a-b) (a+b) czy też (a+b) * (a-b) , ponieważ mnożenie jest przemienne, dlatego czy też mnożymy np. 6 \times 8  lub   8 \times 6 to i tak da ten sam wynik.

    To prawda, w rozbiciu na ułamki proste ostatecznie wyjdą inne końcowe wartości licznika A oraz licznika B, więc i kolejne obliczenia mogą się trochę różnić od tych przedstawionych wyżej. Ale ostateczny wynik będzie zawsze poprawny.
    Po rozbiciu na ułamki proste i wyliczeniu A i B może Pan z powrotem wrócić do połączonego ułamka (czyli dodać do siebie te dwa ułamki proste), w obu przypadkach na pewno wyjdzie jeden i ten sam ułamek.

    Można po prostu do tego samego wyniku dojść różnymi sposobami 🙂

    #9526
    Kamil Kocot
    Nauczyciel

    Zadanie 5

    Obliczyć długość łuku krzywej y equals ln open parentheses sin x close parentheses comma space x element of open \angle brackets straight \pi over 3 semicolon straight \pi over 2 close \angle brackets

    Rozwiązanie

    Wykorzystamy wzór L equals integral subscript a superscript b square root of 1 plus open parentheses y apostrophe close parentheses end root d x.

    Obliczamy kolejno

     y apostrophe equals \fraction numerator 1 over denominator sin x end \fraction \times open parentheses sin x close parentheses apostrophe equals \fraction numerator cos x over denominator sin x end \fraction

    oraz

    table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row L equals cell integral subscript bevelled straight \pi over 3 end subscript superscript bevelled straight \pi over 2 end superscript square root of 1 plus open parentheses \fraction numerator cos x over denominator sin x end \fraction close parentheses squared end root d x equals integral subscript bevelled straight \pi over 3 end subscript superscript bevelled straight \pi over 2 end superscript square root of 1 plus \fraction numerator cos squared x over denominator sin squared x end \fraction end root d x end cell row blank equals cell integral subscript bevelled straight \pi over 3 end subscript superscript bevelled straight \pi over 2 end superscript square root of \fraction numerator sin squared x over denominator sin squared x end \fraction plus \fraction numerator cos squared x over denominator sin squared x end \fraction end root d x equals integral subscript bevelled straight \pi over 3 end subscript superscript bevelled straight \pi over 2 end superscript square root of \fraction numerator sin squared x plus cos squared x over denominator sin squared x end \fraction end root d x end cell row blank equals cell integral subscript bevelled straight \pi over 3 end subscript superscript bevelled straight \pi over 2 end superscript square root of \fraction numerator 1 over denominator sin squared x end \fraction end root d x equals integral subscript bevelled straight \pi over 3 end subscript superscript bevelled straight \pi over 2 end superscript \fraction numerator 1 over denominator open vertical bar sin x close vertical bar end \fraction d x end cell row blank equals cell integral subscript bevelled straight \pi over 3 end subscript superscript bevelled straight \pi over 2 end superscript \fraction numerator 1 over denominator sin x end \fraction d x end cell end table

    gdzie w ostatnim kroku opuszczona została wartość bezwzględna na sin x ponieważ sinus w rozpatrywanym przedziale całkowania jest nieujemny. 

    Teraz obliczymy całkę nieoznaczoną integral table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell \fraction numerator 1 over denominator sin x end \fraction end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank d end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank x end table.

    Dostajemy kolejno

    table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell integral \fraction numerator 1 over denominator sin x end \fraction d x end cell equals cell integral \fraction numerator 1 over denominator sin open parentheses 2 \times begin display sty\le x over 2 end sty\le close parentheses end \fraction d x equals integral \fraction numerator 1 over denominator 2 sin open parentheses x over 2 close parentheses cos open parentheses x over 2 close parentheses end \fraction d x end cell row blank blank cell equals with sin \alpha equals t g \alpha cos \alpha on top integral \fraction numerator 1 over denominator 2 t g open parentheses x over 2 close parentheses cos squared open parentheses x over 2 close parentheses end \fraction d x end cell row blank equals cell open vertical bar table row cell t g open parentheses x over 2 close parentheses equals t end cell row cell \fraction numerator 1 over denominator cos squared open parentheses x over 2 close parentheses end \fraction \times 1 half d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral \fraction numerator d t over denominator t end \fraction end cell row blank equals cell ln open vertical bar t close vertical bar plus C equals ln open vertical bar t g open parentheses x over 2 close parentheses close vertical bar plus C end cell end table

    Powracając do naszego łuku 

    table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row L equals cell open square brackets ln open vertical bar t g open parentheses x over 2 close parentheses close vertical bar close square brackets subscript bevelled straight \pi over 3 end subscript superscript bevelled straight \pi over 2 end superscript equals ln open vertical bar t g open parentheses \fraction numerator begin display sty\le bevelled straight \pi over 2 end sty\le over denominator 2 end \fraction close parentheses close vertical bar minus ln open vertical bar t g open parentheses \fraction numerator begin display sty\le bevelled straight \pi over 3 end sty\le over denominator 2 end \fraction close parentheses close vertical bar end cell row blank equals cell ln open vertical bar t g open parentheses \fraction numerator begin display sty\le straight \pi end sty\le over denominator 4 end \fraction close parentheses close vertical bar minus ln open vertical bar t g open parentheses \fraction numerator begin display sty\le straight \pi end sty\le over denominator 6 end \fraction close parentheses close vertical bar end cell row blank equals cell ln open vertical bar 1 close vertical bar minus ln open vertical bar \fraction numerator square root of 3 over denominator 3 end \fraction close vertical bar end cell row blank equals cell negative ln \fraction numerator square root of 3 over denominator 3 end \fraction equals negative ln 3 to the power of 0.5 end exponent over 3 equals negative ln 3 to the power of negative 0.5 end exponent equals 0.5 ln 3 end cell end table

    #9524
    Kamil Kocot
    Nauczyciel

    Zadanie 6

    Obliczyć długość łuku krzywej y equals square root of 4 minus x squared end root

    Rozwiązanie

    W zadaniu autor nie podaje dziedziny na x więc przyjmiemy maksymalną możliwą tzn. 4 minus x squared greater or equal than 0 left right double arrow x element of open \angle brackets negative 2 semicolon 2 close \angle brackets

    Wykorzystamy wzór L equals integral subscript a superscript b square root of 1 plus open parentheses y apostrophe close parentheses end root d x.

    Obliczamy kolejno

     y apostrophe equals \fraction numerator 1 over denominator 2 square root of 4 minus x squared end root end \fraction \times open parentheses 4 minus x squared close parentheses apostrophe equals \fraction numerator negative 2 x over denominator 2 square root of 4 minus x squared end root end \fraction equals \fraction numerator negative x over denominator square root of 4 minus x squared end root end \fraction

    oraz

    table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row L equals cell integral subscript negative 2 end subscript superscript 2 square root of 1 plus open parentheses \fraction numerator negative x over denominator square root of 4 minus x squared end root end \fraction close parentheses squared end root d x equals integral subscript negative 2 end subscript superscript 2 square root of 1 plus \fraction numerator x squared over denominator 4 minus x squared end \fraction end root d x end cell row blank equals cell integral subscript negative 2 end subscript superscript 2 square root of \fraction numerator 4 minus x squared over denominator 4 minus x squared end \fraction plus \fraction numerator x squared over denominator 4 minus x squared end \fraction end root d x equals integral subscript negative 2 end subscript superscript 2 square root of \fraction numerator 4 over denominator 4 minus x squared end \fraction end root d x end cell row blank equals cell integral subscript negative 2 end subscript superscript 2 \fraction numerator 2 over denominator square root of 4 minus x squared end root end \fraction d x equals 2 integral subscript negative 2 end subscript superscript 2 \fraction numerator 1 over denominator square root of 4 minus x squared end root end \fraction d x end cell row blank equals cell 2 open square brackets a r c sin x over 2 close square brackets subscript negative 2 end subscript superscript 2 equals 2 a r c sin 1 minus 2 a r c sin left parenthesis negative 1 right parenthesis equals 2 \times straight \pi over 2 minus 2 \times open parentheses negative straight \pi over 2 close parentheses equals 2 straight \pi end cell end table

  • Musisz być zalogowany aby odpowiedzieć na ten temat.