DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

Lekcja 2 – Całkowanie przez podstawienie

Jesteś tutaj: Strona główna / Fora / Lekcja 2 – Całkowanie przez podstawienie (VIDEO)

Przeglądasz 15 wpisów - od 1 do 15 (z 25 łącznie)
  • Ten temat ma 24 odpowiedzi, 12 udzielających się, ostatnio wpisał/a coś 1 rok, 11 miesiące temu Krystian Karczyński.
  • Autor
    Posty
  • #8826
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

      Pobierz wzory na całki (PDF) Pobierz Lekcję na twardy dysk
    [Zobacz cały post na stronie: Lekcja 2 – Całkowanie przez podstawienie (VIDEO)]

    #11379
    Anonim
    Nieaktywne

    Jak zrobić przykład 12?

    #11376
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Poleci tak:

    Przykład 12

     \int{{{cos }^{7}}xsin xdx}=\int{{{( cos x )}^{7}}sin xdx}=| \begin{matrix} & t=cos x \\ & dt=-sin xdx \\ & -dt=sin xdx \\ \end{matrix} |=

     =\int{{{t}^{7}}( -dt )}=-\int{{{t}^{7}}dt}=-\frac{1}{8}{{t}^{8}}+C=-\frac{1}{8}{{( cos x )}^{8}}+C=-\frac{1}{8}{{cos }^{8}}x+C=

    • Ta odpowiedź została zmodyfikowana 2 lata, 4 miesiące temu przez Krystian Karczyński.
    • Ta odpowiedź została zmodyfikowana 1 rok, 6 miesiące temu przez Krystian Karczyński.
    #11127
    Anonim
    Nieaktywne

    Panie Krystianie, mógłby Pan podpowiedzieć jak zrobić przykład 14, 21 i 26?

    #11124
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Przykład 14

     \int{x\sqrt[4]{4{{x}^{2}}+11}dx}=| \begin{matrix}    & t=4{{x}^{2}}+11 \\    & dt=8xdx \\    & xdx=\frac{dt}{8} \\   \end{matrix} |=\int{\sqrt[4]{t}\frac{dt}{8}}=\frac{1}{8}\int{{{t}^{\tfrac{1}{4}}}dt}=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{\tfrac{1}{4}+1}{{t}^{\tfrac{1}{4}+1}}+C=

     =\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{\tfrac{5}{4}}{{t}^{\tfrac{5}{4}}}+C=\frac{1}{8}\cdot \frac{4}{5}{{t}^{\tfrac{5}{4}}}+C=\frac{1}{10}{{( 4{{x}^{2}}+11 )}^{\tfrac{5}{4}}}+C

    Przykład 21

     \int{\frac{{{e}^{\frac{2}{x}}}}{{{x}^{2}}}dx}=| \begin{matrix}    & t=\frac{2}{x} \\    & dt=-\frac{2}{{{x}^{2}}}dx \\    & \frac{1}{{{x}^{2}}}dx=-\frac{dt}{2} \\   \end{matrix} |=\int{{{e}^{t}}( -\frac{dt}{2} )}=-\frac{1}{2}\int{{{e}^{t}}dt}=-\frac{1}{2}{{e}^{t}}+C=-\frac{1}{2}{{e}^{\frac{2}{x}}}+C

    Przykład 26

     \int{\frac{{{2}^{x}}}{\sqrt{1-{{4}^{x}}}}dx}=\int{\frac{{{2}^{x}}}{\sqrt{1-{{( {{2}^{2}} )}^{x}}}}dx}=\int{\frac{{{2}^{x}}}{\sqrt{1-{{( {{2}^{x}} )}^{2}}}}dx}=| \begin{matrix}    & t={{2}^{x}} \\    & dt={{2}^{x}}ln 2dx \\    & {{2}^{x}}dx=\frac{dt}{ln 2} \\   \end{matrix} |=

     =\int{\frac{\tfrac{dt}{ln 2}}{\sqrt{1-{{t}^{2}}}}}=\frac{1}{ln 2}arcsin t+C=\frac{1}{ln 2}arcsin {{2}^{x}}+C

    #10862
    Tomasz Duda Duda
    Student

    W teście pytanie 10?

    #10848
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Pytanie 10 testowe

    Prawidłową odpowiedzią jest a), bo zastosowanie tego podstawienia prowadzi nas do rozwiązania:

    integral fraction numerator x d x over denominator 1 plus x to the power of 4 end fraction equals integral fraction numerator begin display style x d x end style over denominator begin display style 1 plus open parentheses x squared close parentheses squared end style end fraction equals open vertical bar table row cell t equals x squared end cell row cell d t equals 2 x d x end cell row cell 1 half d t equals x d x end cell end table close vertical bar equals integral fraction numerator begin display style begin inline style 1 half end style d t end style over denominator begin display style 1 plus t squared end style end fraction equals 1 half integral fraction numerator begin display style d t end style over denominator begin display style 1 plus t squared end style end fraction equals
equals fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style 2 end style end fraction a r c t g t plus C equals fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style 2 end style end fraction a r c t g x squared plus C

    Zastosowanie każdego innego podstawienia nie doprowadzi nas do niczego:

    b)

    integral fraction numerator x d x over denominator 1 plus x to the power of 4 end fraction equals equals open vertical bar table row cell t equals 1 plus x to the power of 4 end cell row cell d t equals 4 x cubed d x end cell row cell x d x equals ? end cell end table close vertical bar

    c)

    integral fraction numerator x d x over denominator 1 plus x to the power of 4 end fraction equals open vertical bar table row cell t equals x end cell row cell d t equals d x end cell row blank end table close vertical bar equals integral fraction numerator t d t over denominator 1 plus t to the power of 4 end fraction

    – dalej ta sama całka

    d)

    integral fraction numerator x d x over denominator 1 plus x to the power of 4 end fraction equals equals open vertical bar table row cell t equals x to the power of 4 end cell row cell d t equals 4 x cubed d x end cell row cell x d x equals ? end cell end table close vertical bar

    • Ta odpowiedź została zmodyfikowana 11 miesiące, 1 tydzień temu przez Krystian Karczyński.
    #10723
    Anonim
    Nieaktywne

    Wydaje mi się, że w odpowiedzi do zadania domowego nr 26 jest błąd:\fraction numerator 1 over denominator ln 2 end \fraction a r c sin 2 to the power of x space plus space c ,a powinno być \fraction numerator 1 over denominator ln 2 end \fraction a r c sin square root of 4 to the power of x end root space plus space c

    #10709
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Obie odpowiedzi są poprawne, bo:

    \fraction numerator 1 over denominator ln 2 end \fraction a r c sin square root of 4 to the power of x end root plus C equals \fraction numerator 1 over denominator l n 2 end \fraction a r c s i n square root of open parentheses 2 squared close parentheses to the power of x end root plus C equals \fraction numerator 1 over denominator l n 2 end \fraction a r c s i n square root of open parentheses 2 to the power of x close parentheses squared end root plus C equals \fraction numerator 1 over denominator l n 2 end \fraction a r c s i n 2 to the power of x plus C

    square root of open parentheses 2 to the power of x close parentheses squared end root equals 2 to the power of x, bo 2 to the power of x jako funkcja wykładnicza przyjmuje zawsze wartości dodatnie

    #10636
    Anonim
    Nieaktywne

    integral \fraction numerator left parenthesis ln x minus 2 right parenthesis over denominator x end \fraction d x = ln x minus 2 space plus space C

    pytanko czy rozwiązanie ln x minus 2 space plus space C przy   t equals ln x minus 2
d t equals 1 over x d x też wchodzi w grę?

    Nie wiem czy się pomyliłem gdzieś albo nie umiem przekształcić 1 half left parenthesis ln x minus 2 right parenthesis squared plus C

    #10635
    Anonim
    Nieaktywne

    j.w. w zadaniu 16 tylko w zadaniu 18

    integral \fraction numerator t g x over denominator cos squared x end \fraction d x equals integral \fraction numerator t over denominator cos squared x end \fraction d x equals integral t \fraction numerator 1 over denominator cos squared x end \fraction d x equals integral t space d t space equals space t g x plus C

    dla t equals t g x
d t equals \fraction numerator 1 over denominator cos squared x end \fraction d x

    pewnie coś robię źle bo w odpowiedzi jest 1 half t g x squared plus C. Ten sam problem jak w zadaniu 16.

    #10627
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

    Przykład 16:

    integral \fraction numerator left parenthesis ln x minus 2 right parenthesis over denominator x end \fraction d x space equals integral left parenthesis l n x minus 2 right parenthesis 1 over x d x equals space open vertical bar table row cell t equals ln x minus 2 end cell row cell d t equals 1 over x d x end cell end table close vertical bar equals integral t space d t space equals space 1 half t squared space plus C space equals space 1 half open parentheses l n x minus 2 close parentheses squared space plus C

    Przykład 18:

    integral \fraction numerator t g x over denominator cos squared x end \fraction d x equals integral t g x \fraction numerator 1 over denominator c o s squared x end \fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals t g x end cell row cell d t equals \fraction numerator 1 over denominator c o s squared x end \fraction d x end cell end table close vertical bar equals integral t space d t equals 1 half t squared space plus space C equals 1 half open parentheses t g x close parentheses squared space plus space C

     


     

    Nie wychodził Panu odpowiedni wynik, bo nie do końca policzył Pan podstawioną całkę.

    Dobrze, w jednym, jak i w drugim przykładzie podstawienie jest prawidłowe, dochodzi Pan do momentu integral t space d t.

    I tu nie należy od razu wpisywać wyniku (czyli naszego podstawienia za t). Tak po prostu całka zniknęła? Nie, najpierw należy obliczyć tą całkę (z przyzwyczajenia zawsze było na zmiennych x, tutaj występuje t, ale to tylko zmiana literki). Jak wiemy z podstawowych wzorów na całki integral space t to the power of n space d t space equals space \fraction numerator 1 over denominator n plus 1 end \fraction space t to the power of space n plus 1 end exponent space plus space C .

    Dopiero w momencie pełnego obliczenia całki mogę powrócić i za t wstawić moje początkowe podstawienie.

    #10601
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

     Przykład 8

    integral \fraction numerator x over denominator square root of 2 plus 2 x squared end root end \fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals 2 plus 2 x squared end cell row cell d t equals 2 \times 2 x space d x end cell row cell \fraction numerator d t over denominator 4 end \fraction equals x space d x end cell end table close vertical bar equals integral \fraction numerator 1 over denominator square root of t end \fraction \times \fraction numerator d t over denominator 4 end \fraction equals 1 fourth integral \fraction numerator 1 over denominator square root of t end \fraction d t equals 1 fourth integral 1 over t to the power of begin display sty\le 1 half end sty\le end exponent d t equals 1 fourth integral t to the power of negative 1 half end exponent d t equals 1 fourth \times \fraction numerator 1 over denominator negative begin display sty\le 1 half end sty\le plus 1 end \fraction \times t to the power of negative 1 half plus 1 end exponent space plus C space equals

    1 fourth \times \fraction numerator 1 over denominator begin display sty\le 1 half end sty\le end \fraction \times t to the power of 1 half end exponent space plus C space equals 1 fourth \times 2 \times t to the power of 1 half end exponent space plus C space equals space 1 half \times t to the power of 1 half end exponent space plus C equals 1 half \times open parentheses 2 plus 2 x squared close parentheses to the power of 1 half end exponent space plus C equals 1 half \times square root of 2 plus 2 x squared end root plus C

    #9822
    Joanna Grochowska
    Dyrektor

    Przykład 17:

    integral \fraction numerator sin open parentheses 2 square root of x close parentheses over denominator square root of x end \fraction d x equals integral sin open parentheses 2 square root of x close parentheses \times \fraction numerator 1 over denominator square root of x end \fraction space d x equals open vertical bar table row cell 2 square root of x equals t end cell row cell 2 \times \fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end \fraction d x equals d t end cell row cell \fraction numerator 1 over denominator square root of x end \fraction d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral sin t space d t equals negative cos t plus C equals negative cos open parentheses 2 square root of x close parentheses plus C

    #9570
    Anonim
    Nieaktywne

    Witam,

     

    Proszę uprzejmie o przeliczenie zadania nr 25. Z góry dziękuję.

  • Musisz być zalogowany aby odpowiedzieć na ten temat.