DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

Lekcja 10 – Geometria analityczna

Jesteś tutaj: Strona główna / Fora / Lekcja 10 – Geometria analityczna

Przeglądasz 15 wpisów - od 1 do 15 (z 27 łącznie)
  • Autor
    Posty
  • #56053
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    Pobierz Lekcję na twardy dysk Zadanie Domowe Pobierz Zadania „na rozgrzewkę” (PDF) Pobierz Zadanie Domowe (PDF) Pobierz Odpowiedzi do „rozgrzewki” (PD
    [Zobacz cały post na stronie: https://akademia.etrapez.pl/posty-lekcji/lekcja-10-geometria-analityczna/]

    #101776
    Szymon Górowski
    Student

    Dzień dobry, bardzo proszę o pomoc w ostatnim zadaniu z części 2 zadania domowego, gdzie należy wyznaczyć równanie prostej BC trójkąta równoramiennego ABC.

    Pozdrawiam

    Szymon Górowski

    #101898
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    Zad. 20

    Podstawa A B trójkąta równoramiennego A B C zawiera się w prostej o równaniu x plus 2 y minus 8 equals 0, a ramię A C tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 7 x minus 11 y plus 119 equals 0. Wyznacz równanie prostej B C wiedząc, że pole trójkąta  jest równe 75.

     

    Na wstępie napiszę, że przy układaniu tego zadania wykorzystałam zagadnienia i sposoby rozwiązania, które omówiłam w zadaniach 25 i 26 w nagraniu do lekcji. Zachęcam do ich obejrzenia, a jeśli były już wcześniej przesłuchane, to do ponownego przesłuchania pod kątem właśnie zadania 20 z zestawu zadań domowych.

     

    Rozwiązanie:

    Wykonujemy rysunek poglądowy. Nie musi być w układzie współrzędnych, nic specjalnego to do zadania nie wniesie.

     

    Trójkąt A B C jest równoramienny z podstawą A B, zatem miary kątów przy wierzchołkach A i B są równe, oznaczmy je przez alpha. Mamy dane równania prostej A B oraz prostej A C, zatem możemy wyznaczyć tangens kąta alpha leżącego przy wierzchołku A. Korzystamy ze wzoru na tangens kąta zawartego między prostymi danymi wzorami ogólnymi (można przekształcić do postaci kierunkowych i korzystać z analogicznego wzoru).

    t g alpha equals open vertical bar fraction numerator 1 times open parentheses negative 11 close parentheses minus 7 times 2 over denominator 1 times 7 plus 2 times open parentheses negative 11 close parentheses end fraction close vertical bar equals open vertical bar fraction numerator negative 11 minus 14 over denominator 7 minus 22 end fraction close vertical bar equals open vertical bar fraction numerator negative 25 over denominator negative 15 end fraction close vertical bar equals 25 over 15 equals 5 over 3

    Prosta B C tworzy z prostą A B również kąt o mierze alpha, zatem tangens będzie miał taką samą wartość dla kąta przy wierzchołku B, co dla kąta przy wierzchołku A, a więc będzie równy 5 over 3.

    Równanie prostej B C colon space y equals a x plus b – zapisujemy postać kierunkową, ponieważ zawiera ona tylko dwa współczynniki. Teraz łatwiej nam będzie zastosować wzór na tangens kąta między prostymi danymi wzorami kierunkowymi, ponieważ w tym wzorze pojawia się mniej współczynników i możemy od razu wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej B C.

    Przekształcamy równanie prostej A B do postaci kierunkowej:
    A B colon space x plus 2 y minus 8 equals 0
space space space space space space space 2 y equals negative x plus 8
space space space space space space space y equals negative 1 half x plus 4

     

    Stosujemy wzór na tangens kąta między prostymi, wiedząc że tangens kąta przy wierzchołku B jest równy tangensowi kąta przy wierzchołku A, czyli 5 over 3.

    t g alpha equals open vertical bar fraction numerator a minus open parentheses negative 1 half close parentheses over denominator 1 plus a times open parentheses negative 1 half close parentheses end fraction close vertical bar equals open vertical bar fraction numerator a plus 1 half over denominator 1 minus 1 half a end fraction close vertical bar equals fraction numerator open vertical bar a plus 1 half close vertical bar over denominator open vertical bar 1 minus 1 half a close vertical bar end fraction equals 5 over 3

    Rozwiązujemy równanie:

    3 open vertical bar a plus 1 half close vertical bar equals 5 open vertical bar 1 minus 1 half a close vertical bar
open vertical bar 3 a plus 3 over 2 close vertical bar equals open vertical bar 5 minus 5 over 2 a close vertical bar

    Dwie wartości bezwzględne są sobie równe, jeśli wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są równe lub są przeciwnych znaków.

     

     

    Jeśli równanie prostej A C przekształcimy do postaci kierunkowej, to otrzymamy
    7 x minus 11 y plus 119 equals 0
minus 11 y equals negative 7 x minus 119
y equals 7 over 11 x plus 119 over 11

    Zatem a subscript 1 equals 7 over 11 jest współczynnikiem kierunkowym prostej A C, natomiast a subscript 2 equals negative 13 jest współczynnikiem kierunkowym prostej B C.

    Mamy więc B C colon space y equals negative 13 x plus b.

     

    Wszystkie powyższe kroki wyjaśnione są również w nagraniu do lekcji w zadaniu 25. Poniżej obliczenia związane z polem – podobne kroki znajdziemy w nagraniu w zadaniu 26.

     

    Niech punkt D będzie spodkiem wysokości trójkąta poprowadzonej z wierzchołka C.

    P subscript A B C end subscript equals 75
1 half times open vertical bar A B close vertical bar times open vertical bar C D close vertical bar equals 75
1 half times 2 times open vertical bar A D close vertical bar times open vertical bar C D close vertical bar equals 75
open vertical bar A D close vertical bar times open vertical bar C D close vertical bar equals 75

     

    Wyznaczamy współrzędne punktu A jako punktu przecięcia prostej A B i prostej A C:
    space space space space open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus 2 y minus 8 equals 0 space space space space space space space space space space space space space space divided by times open parentheses negative 7 close parentheses end cell row cell 7 x minus 11 y plus 119 equals 0 end cell end table close
plus bottom enclose open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell negative 7 x minus 14 y plus 56 equals 0 end cell row cell 7 x minus 11 y plus 119 equals 0 end cell end table close end enclose
space space space space space space minus 25 y plus 175 equals 0
space space space space space space 25 y equals 175 space space space space divided by colon 25
space space space space space space y equals 7
space space space space space space x plus 2 times 7 minus 8 equals 0
space space space space space x plus 14 minus 8 equals 0
space space space space space x plus 6 equals 0
space space space space space x equals negative 6
A equals open parentheses negative 6 comma 7 close parentheses

     

    Długość odcinka open vertical bar C D close vertical bar to odległość punktu C od prostej A B. Długość odcinka open vertical bar A D close vertical bar to odległość punktu A od prostej C D.

    Prosta C D colon space y equals c x plus d jest prostopadła do prostej A B colon space y equals negative 1 half x plus 4, zatem c times open parentheses negative 1 half close parentheses equals negative 1 space space rightwards double arrow space space c equals 2.

    C D colon space y equals 2 x plus d space space rightwards arrow space space 2 x minus y plus d equals 0 (przekształcamy do postaci ogólnej, bo taka postać potrzebna jest do wzoru na odległość punktu od prostej)

     

    A equals open parentheses negative 6 comma 7 close parentheses
C D colon space 2 x minus y plus d equals 0

    open vertical bar A D close vertical bar equals fraction numerator open vertical bar 2 times open parentheses negative 6 close parentheses minus 7 plus d close vertical bar over denominator square root of 2 squared plus open parentheses negative 1 close parentheses squared end root end fraction equals fraction numerator open vertical bar negative 12 minus 7 plus d close vertical bar over denominator square root of 4 plus 1 end root end fraction equals fraction numerator open vertical bar d minus 19 close vertical bar over denominator square root of 5 end fraction

     

    Wyznaczamy współrzędne punktu C jako punktu przecięcia prostej A C i prostej C D:
    open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 7 x minus 11 y plus 119 equals 0 end cell row cell y equals 2 x plus d end cell end table close
7 x minus 11 open parentheses 2 x plus d close parentheses plus 119 equals 0
7 x minus 22 x minus 11 d plus 119 equals 0
minus 15 x equals 11 d minus 119 space space space divided by colon open parentheses negative 15 close parentheses
x equals negative 11 over 15 d plus 119 over 15
y equals 2 times open parentheses negative 11 over 15 d plus 119 over 15 close parentheses plus d equals negative 22 over 15 d plus 238 over 15 plus fraction numerator 15 d over denominator 15 end fraction equals negative 7 over 15 d plus 238 over 15
C equals open parentheses negative 11 over 15 d plus 119 over 15 comma negative 7 over 15 d plus 238 over 15 close parentheses

     

    C equals open parentheses negative 11 over 15 d plus 119 over 15 comma negative 7 over 15 d plus 238 over 15 close parentheses
A B colon space x plus 2 y minus 8 equals 0

    open vertical bar C D close vertical bar equals fraction numerator open vertical bar negative 11 over 15 d plus 119 over 15 plus 2 open parentheses negative 7 over 15 d plus 238 over 15 close parentheses minus 8 close vertical bar over denominator square root of 1 squared plus 2 squared end root end fraction equals fraction numerator open vertical bar negative 11 over 15 d plus 119 over 15 minus 14 over 15 d plus 476 over 15 minus 120 over 15 close vertical bar over denominator square root of 1 plus 4 end root end fraction equals
space space space space space space space space space space equals fraction numerator open vertical bar negative 25 over 15 d plus 475 over 15 close vertical bar over denominator square root of 5 end fraction equals fraction numerator open vertical bar negative 5 over 3 d plus 95 over 3 close vertical bar over denominator square root of 5 end fraction

     

    open vertical bar A D close vertical bar times open vertical bar C D close vertical bar equals 75
fraction numerator open vertical bar d minus 19 close vertical bar over denominator square root of 5 end fraction times fraction numerator open vertical bar negative 5 over 3 d plus 95 over 3 close vertical bar over denominator square root of 5 end fraction equals 75
fraction numerator open vertical bar d minus 19 close vertical bar times open vertical bar negative 5 over 3 d plus 95 over 3 close vertical bar over denominator 5 end fraction equals 75 space space space divided by times 5
open vertical bar d minus 19 close vertical bar times open vertical bar negative 5 over 3 d plus 95 over 3 close vertical bar equals 375 space space space divided by times 3
open vertical bar d minus 19 close vertical bar times open vertical bar negative 5 d plus 95 close vertical bar equals 1125
open vertical bar negative 5 d squared plus 95 d plus 95 d minus 1805 close vertical bar equals 1125
open vertical bar negative 5 d squared plus 190 d minus 1805 close vertical bar equals 1125 space space space divided by colon 5
open vertical bar negative d squared plus 38 d minus 361 close vertical bar equals 225
minus d squared plus 38 d minus 361 equals 225 space space logical or space minus d squared plus 38 d minus 361 equals negative 225
minus d squared plus 38 d minus 586 equals 0 space space space space space space space logical or space space minus d squared plus 38 d minus 136 equals 0

    W pierwszym równaniu mamy brak rozwiązań, w drugim mamy rozwiązania: x equals 4 space space logical or space space x equals 34.

    Otrzymujemy dwa możliwe równania prostej C D:
    C D colon space y equals 2 x plus 4 space space logical or space space C D colon space y equals 2 x plus 34

    Wyznaczamy współrzędne punktu D jako punktu przecięcia prostych A B i C D:

    D subscript 1 colon space open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y equals negative 1 half x plus 4 end cell row cell y equals 2 x plus 4 end cell end table close
minus 1 half x plus 4 equals 2 x plus 4
minus 1 half x equals 2 x
x equals 0
y equals 2 times 0 plus 4 equals 4
D subscript 1 equals open parentheses 0 comma 4 close parentheses

D subscript 2 colon space open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y equals negative 1 half x plus 4 end cell row cell y equals 2 x plus 34 end cell end table close
minus 1 half x plus 4 equals 2 x plus 34
2 1 half x equals negative 30
x equals negative 12
y equals 2 times open parentheses negative 12 close parentheses plus 34 equals 10
D subscript 2 equals open parentheses negative 12 comma 10 close parentheses

     

    Punkt D jest środkiem odcinka A B, zatem wyznaczamy współrzędne punktu B:

    open parentheses fraction numerator negative 6 plus x subscript B over denominator 2 end fraction comma fraction numerator 7 plus y subscript B over denominator 2 end fraction close parentheses equals open parentheses 0 comma 4 close parentheses
fraction numerator negative 6 plus x subscript B over denominator 2 end fraction equals 0 space space logical and space space fraction numerator 7 plus y subscript B over denominator 2 end fraction equals 4
minus 6 plus x subscript B equals 0 space space logical and space space 7 plus y subscript B equals 8
x subscript B equals 6 space space logical and space space y subscript B equals 1
B subscript 1 equals open parentheses 6 comma 1 close parentheses

open parentheses fraction numerator negative 6 plus x subscript B over denominator 2 end fraction comma fraction numerator 7 plus y subscript B over denominator 2 end fraction close parentheses equals open parentheses negative 12 comma 10 close parentheses
fraction numerator negative 6 plus x subscript B over denominator 2 end fraction equals negative 12 space space logical and space space fraction numerator 7 plus y subscript B over denominator 2 end fraction equals 10
minus 6 plus x subscript B equals negative 24 space space logical and space space 7 plus y subscript B equals 20
x subscript B equals negative 18 space space logical and space space y subscript B equals 13
B subscript 2 equals open parentheses negative 18 comma 13 close parentheses

     

    Podstawiamy współrzędne punktu B do równania prostej B C colon space y equals negative 13 x plus b i otrzymujemy wartość współczynnika b.

    13 equals negative 13 times open parentheses negative 18 close parentheses plus b
13 equals 234 plus b
b equals 13 minus 234
b equals negative 221 space space rightwards arrow space space y equals negative 13 x minus 221 space space rightwards arrow space space 13 x plus y plus 221 equals 0

l u b

1 equals negative 13 times 6 plus b
1 equals negative 78 plus b
b equals 1 plus 78
b equals 79 space space rightwards arrow space space y equals negative 13 x plus 79 space space rightwards arrow space space 13 x plus y minus 79 equals 0

     

     

     

    Trzeba przyznać, że rozwiązanie długie i zawierające kilka poważniejszych własności. Krótko mówiąc – zadanie dla ambitnych 🙂

    #101901
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    Dodam jeszcze, że kiedy mamy już wyznaczoną postać prostej B C colon space y equals negative 13 x plus b, to część z wartością pola można wyznaczyć również innymi sposobami. Być może któryś okaże się szybszy. Można chociażby spróbować wyznaczyć współrzędne punktów B i C jako punktów przecięcia odpowiednich prostych – wyjdą one wtedy oczywiście zależne od współczynnika b, i wtedy zastosować wzór na pole trójkąta, kiedy dane są współrzędne jego wierzchołków. Tym sposobem wyjdą może bardziej skomplikowane równania do obliczenia, ale jakby sama koncepcja jest prostsza niż ta powyżej.

    Zapewne można jeszcze znaleźć jakieś inne sposoby.

    #101915
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    ERRATA 3.04.2020

    Video około 4:14:13

    Było:  kąt do obliczania pola wycinka wynosił 143 to the power of 0 stopnie

    Powinno być: kąt do obliczania pola wycinka wynosi 360 to the power of 0 minus 143 to the power of 0 equals 217 to the power of 0 stopni

    #101971
    Szymon Górowski
    Student

    Dziękuję za odpowiedź !

    #103352
    Ryhor Abramovich
    Nauczyciel

    Mam pomysł do zad.20

    Obliczamy (jak u Pani) A open parentheses negative 6 semicolon 7 close parentheses oraz t g alpha equals 5 over 3, a zatem

    t g 2 alpha equals fraction numerator 2 t g alpha over denominator 1 minus t g squared alpha end fraction equals fraction numerator 2 times begin display style 5 over 3 end style over denominator 1 minus begin display style 25 over 9 end style end fraction equals fraction numerator begin display style 10 over 3 end style over denominator negative begin display style 16 over 9 end style end fraction equals negative 15 over 8

    Wtedy angle C equals 180 minus 2 alpha, i

    t g angle C equals t g open parentheses 180 minus 2 alpha close parentheses equals negative t g 2 alpha equals 15 over 8

    Wiedząc tangens, rysujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 8 i 15 i obliczamy z tw. Pitagorasa przeciwprostokątną: c equals 17, skąd

    sin angle C equals 15 over 17

    Dalej, P subscript increment A B C end subscript equals 1 half times open vertical bar A C close vertical bar times open vertical bar B C close vertical bar times sin angle C

    Ponieważ open vertical bar A C close vertical bar equals open vertical bar B C close vertical bar, to

    75 equals 1 half times open vertical bar A C close vertical bar squared times 15 over 17, skąd mamy że open vertical bar A C close vertical bar squared equals 170

    Dalej, C element of A C, zatem współrzędne p.C to

    C open parentheses x semicolon space fraction numerator 7 x plus 119 over denominator 11 end fraction close parentheses (z równania kierunkowego prostej A C).

    Ze wzoru na długość odcinka:

    open vertical bar A C close vertical bar squared equals open parentheses x subscript C minus x subscript A close parentheses squared plus open parentheses y subscript C minus y subscript A close parentheses squared, czyli

    open parentheses x plus 6 close parentheses squared plus open parentheses fraction numerator 7 x plus 119 over denominator 11 end fraction minus 7 close parentheses squared equals 170

    open parentheses x plus 6 close parentheses squared plus open parentheses fraction numerator 7 x plus 119 minus 77 over denominator 11 end fraction close parentheses squared equals 170

    open parentheses x plus 6 close parentheses squared plus open parentheses fraction numerator 7 x plus 42 over denominator 11 end fraction close parentheses squared equals 170

    open parentheses x plus 6 close parentheses squared plus open parentheses fraction numerator 7 open parentheses x plus 6 close parentheses over denominator 11 end fraction close parentheses squared equals 170

    open parentheses x plus 6 close parentheses squared times open parentheses 1 plus 49 over 121 close parentheses equals 170

    open parentheses x plus 6 close parentheses squared times 170 over 121 equals 170

    open parentheses x plus 6 close parentheses squared equals 121

    x plus 6 equals 11 space logical or space x plus 6 equals negative 11

    x equals 5 space logical or space x equals negative 17

    y equals fraction numerator 7 times 5 plus 119 over denominator 11 end fraction equals 154 over 11 equals 14 space logical or space y equals fraction numerator 7 times open parentheses negative 17 close parentheses plus 119 over denominator 11 end fraction equals 0

    Zatem C open parentheses 5 semicolon 14 close parentheses space logical or space C open parentheses negative 17 semicolon 0 close parentheses

    Dalej, open vertical bar B C close vertical bar squared equals open vertical bar A C close vertical bar squared equals 170 oraz B element of A B space open parentheses x plus 2 y minus 8 equals 0 rightwards double arrow x equals 8 minus 2 y close parentheses, tzn. B open parentheses 8 minus 2 y semicolon y close parentheses

    open parentheses 8 minus 2 y minus 5 close parentheses squared plus open parentheses y minus 14 close parentheses squared equals 170 space logical or open parentheses 8 minus 2 y plus 17 close parentheses squared plus open parentheses y minus 0 close parentheses squared equals 170 horizontal ellipsis

    B open parentheses 6 semicolon 1 close parentheses space logical or space B open parentheses negative 18 semicolon 13 close parentheses

    Pozostało wyznaczyć równania prostych przechodzących przez punkty B open parentheses 6 semicolon 1 close parenthesesC open parentheses 5 semicolon 14 close parentheses lub przez B open parentheses negative 18 semicolon 13 close parenthesesC open parentheses negative 17 semicolon 0 close parentheses

    Odpowiedź: 13 x plus y minus 79 equals 0 space logical or space 13 x plus y plus 221 equals 0

     

     

    #109850
    Katarzyna Wilk
    Student

    Zatrzymałam się na zadaniu 4 z części 2 zadania domowego. Pomoże mi Pani?

    Postanowiłam wykorzystać wzór na pole równoległoboku P equals fraction numerator vertical line A C vertical line asterisk times vertical line B D vertical line over denominator 2 end fraction asterisk times sin left parenthesis phi right parenthesis

    Wyznaczyłam równanie prostej |AC| y equals 4 over 5 x plus 7 over 5

    Wyznaczyłam tangens kąta między prostymi a następnie sinusa t g left parenthesis phi right parenthesis equals 22 over 23

    Wyszło mi |BD| = 5, bo |AC| =square root of 41

    Punkty B i D muszą się znajdować w równych odległościach od środka prostej |AC|, odległość równa połowie |BD|.

    Podstawiając do wzoru na odległość dwóch punktów (4.5, 5) oraz (x, -2/3x + 8) otrzymałam równanie kwadratowe, a następnie dwa rozwiązania: 2.4 i 6.6, podczas gdy w odpowiedziach jest 3 i 6. Co zrobiłam źle?

    #109851
    Katarzyna Wilk
    Student

    Zadanie 5, część 2 zadania domowego.

    Podstawiłam x=10 do równania okręgu i wyznaczyłam y squared equals 15 a minus 120

    Podstawiłam to do równania okręgu i otrzymałam x squared minus left parenthesis 2 a minus 2 right parenthesis x plus 20 a minus 15 equals 0

    Wyznaczając deltę = 0, otrzymałam równanie a squared minus 22 a plus 16 equals 0

    Z czego wyszło mi niewymierne a, podczas gdy w odpowiedziach jest 8. Co zrobiłam źle? Środka ani promienia postanowiłam nie wyznaczać z błędnego wyniku.

    #109855
    Katarzyna Wilk
    Student

    Zadanie 8, część 2.

    Wyznaczyłam środek podstawy trójkąta, a następnie równanie prostej przechodzącej przez ten punkt oraz miejsce przecięcia wysokości |SH| y equals negative 3 over 2 x plus 12

    Następnie równanie prostej |BH| (jeden z wierzchołków i punkt przecięcia wysokości) y equals 11 over 3 x minus 28

    Jest ona prostopadła do prostej |AC|, więc mam w ten sposób współczynnik kierunkowy do prostej |AC| y equals a x plus 1 minus 3 a i dalej y equals negative 3 over 11 x plus 20 over 11

    Szukając punktu C porównałam ze sobą równanie |AC| i |SH| i otrzymałam x equals 224 over 27 zamiast 0. Co jest źle?

    • Ta odpowiedź została zmodyfikowana 8 miesiące, 3 tygodnie temu przez Katarzyna Wilk.
    #109857
    Katarzyna Wilk
    Student

    Zadanie 10, część 2 zadania domowego.

    Korzystając ze wzoru na pole rombu P equals fraction numerator e f over denominator 2 end fraction

    Długość |AC| = square root of 40, współrzędne środka tej prostej S=(0, 2), równanie prostej |AC| y equals negative 1 third x plus 2

    Przekątne rombu są do siebie prostopadłe i przecinają się w swoim środku, więc równanie |BD| = 3x+2

    Podstawiając do wzoru wyszło mi |BD| = 12.6 ale korzystając ze wzoru na odległość punktu (x, 3x+2) od prostej y equals negative 1 third x plus 2 już mi nie wyszło nic sensownego. Gdzie zrobiłam błąd?

    #109920
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    Zad. 4

    Odcinek A C, gdzie A equals open parentheses 2 comma 3 close parentheses oraz C equals open parentheses 7 comma 7 close parentheses, jest przekątną równoległoboku A B C D. Przekątna B D tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu y equals negative 2 over 3 x plus 8. Wyznacz współrzędne wierzchołków BD wiedząc, że pole tego równoległoboku jest równe 11.

     

    Pani metoda jest dobra, tylko chyba jest błąd rachunkowy przy tangensie:

    t g phi equals open vertical bar fraction numerator a subscript 1 minus a subscript 2 over denominator 1 plus a subscript 1 a subscript 2 end fraction close vertical bar, gdzie u nas a subscript 1 equals 4 over 5 oraz a subscript 2 equals negative 2 over 3 i mamy

    t g phi equals open vertical bar fraction numerator begin display style 4 over 5 end style plus begin display style 2 over 3 end style over denominator 1 minus 4 over 5 times 2 over 3 end fraction close vertical bar equals open vertical bar fraction numerator begin display style 12 over 15 plus 10 over 15 end style over denominator 1 minus 8 over 15 end fraction close vertical bar equals open vertical bar fraction numerator begin display style 22 over 15 end style over denominator 7 over 15 end fraction close vertical bar equals 22 over 15 times 15 over 7 equals 22 over 7

    Obliczamy sinusa, otrzymujemy sin phi equals fraction numerator 22 over denominator square root of 41 times 13 end root end fraction

    Czyli dalej: 1 half times open vertical bar A C close vertical bar times open vertical bar B D close vertical bar times sin phi equals 1 half times square root of 41 times open vertical bar B D close vertical bar times fraction numerator 22 over denominator square root of 41 times 13 end root end fraction equals 11 space space rightwards double arrow space space open vertical bar B D close vertical bar equals square root of 13

    Punkt przecięcia przekątnych ma współrzędne S equals open parentheses 9 over 2 comma 5 close parentheses, zatem open vertical bar B S close vertical bar equals fraction numerator square root of 13 over denominator 2 end fraction.

    I dalej już wychodzi dobrze 🙂

     

     

    Zaproponuję też inną metodę, moim zdaniem łatwiejszą.

    Przekątna A C dzieli równoległobok A B C D na dwa trójkąty A B C i A C D o równych polach.

    Mamy więc P subscript A B C end subscript equals 11 over 2, gdzie A equals open parentheses 2 comma 3 close parentheses comma space B equals open parentheses x comma space minus 2 over 3 x plus 8 close parentheses comma space C equals open parentheses 7 comma 7 close parentheses.

    Skorzystajmy ze wzoru na pole trójkąta, gdzie dane mamy współrzędne jego wierzchołków:

    P subscript A B C end subscript equals 1 half open vertical bar open parentheses x minus 2 close parentheses open parentheses 7 minus 3 close parentheses minus open parentheses negative 2 over 3 x plus 8 minus 3 close parentheses open parentheses 7 minus 2 close parentheses close vertical bar equals 11 over 2

    Po uproszczeniu: P subscript A B C end subscript equals 1 half open vertical bar 22 over 3 x minus 33 close vertical bar equals 11 over 2 space space rightwards double arrow space space open vertical bar 22 over 3 x minus 33 close vertical bar equals 11 i otrzymujemy x equals 6 space space logical or space x equals 3

    🙂

    #109950
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    Zad. 5

    Wyznacz wartość parametru a, dla którego okrąg o równaniu x squared plus y squared minus open parentheses 2 a minus 2 close parentheses x plus 5 a equals 0 jest styczny do prostej o równaniu x equals 10. Wyznacz środek i promień tego okręgu.

     

    Pani metoda niestety nie jest dobra. Podstawiając równanie stycznej do równania okręgu mamy otrzymać współrzędne punktów wspólnych i założenie jest takie, że otrzymamy jeden punkt wspólny, więc mając równanie sprowadzone do postaci x squared minus open parentheses 2 a minus 2 close parentheses x plus 20 a minus 120 equals 0 (tu był mały błąd rachunkowy u Pani, na końcu ma być „negative 120„, a nie „negative 15„) chcemy mieć increment equals 0. Tyle, że nie działa to w przypadku stycznej pionowej. Styczna pionowa, jeśli ma dwa punkty wspólne z okręgiem, to zawsze dla tego samego x, w tym przypadku dla x equals 10. Takie też x podstawiła Pani na początku, więc równanie x squared minus open parentheses 2 a minus 2 close parentheses x plus 20 a minus 120 equals 0 nie ma sensu, bo przecież wiemy, jakie jest x.

    Gdyby jednak liczyć to dalej, otrzymamy increment equals 0 dla a equals 11 i wtedy środek okręgu będzie leżał na prostej x equals 10, czyli nie będzie to styczna a sieczna.

     

    Prawidłowe rozwiązanie:

    Wyznaczamy środek i promień okręgu w zależności od parametru a porównując ze wzorem okręgu:

    x squared plus y squared minus open parentheses 2 a minus 2 close parentheses x plus 5 a equals 0

    x squared plus y squared minus 2 A x minus 2 B y plus C equals 0, gdzie S equals open parentheses A comma B close parentheses oraz r equals square root of A squared plus B squared minus C end root

    negative 2 A equals negative open parentheses 2 a minus 2 close parentheses
A equals a minus 1

B equals 0

C equals 5 a

r equals square root of open parentheses a minus 1 close parentheses squared plus 0 squared minus 5 a end root equals square root of a squared minus 2 a plus 1 minus 5 a end root equals square root of a squared minus 7 a plus 1 end root

    Wyznaczamy dziedzinę: a squared minus 7 a plus 1 greater than 0.

     

    Korzystamy z własności, że odległość środka okręgu od stycznej jest równa promieniowi. W tym przypadku, skoro styczna jest pionowa, odległość środka od stycznej będzie mierzona równolegle do osi O x, czyli odległość między open parentheses a minus 1 close parentheses a 10 jest równa promieniowi:

    open vertical bar a minus 1 space space minus space space 10 close vertical bar equals square root of a squared minus 7 a plus 1 end root
open vertical bar a minus 11 close vertical bar equals square root of a squared minus 7 a plus 1 end root space space space divided by squared
open parentheses a minus 11 close parentheses squared equals a squared minus 7 a plus 1
a squared minus 22 a plus 121 equals a squared minus 7 a plus 1
minus 22 a plus 121 equals negative 7 a plus 1
minus 15 a equals negative 12 a
a equals 8

    Środek i promień okręgu:

    S equals open parentheses a minus 1 comma 0 close parentheses equals open parentheses 7 comma 0 close parentheses
r equals square root of a squared minus 7 a plus 1 end root equals square root of 8 squared minus 7 times 8 plus 1 end root equals square root of 9 equals 3

     

    #109951
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    W zadaniu 8 jest u Pani pomyłka przy równaniu prostej B H: a equals 3 over 11, zamiast a equals 11 over 3, więc prosta B H ma równanie y equals 3 over 11 x plus 28 over 11.

    Dalej obliczymy równanie prostej A C: y equals negative 11 over 3 x plus 12 i z układu równań open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y equals negative 11 over 3 x plus 12 end cell row cell y equals negative 3 over 2 x plus 12 end cell end table close otrzymamy x equals 0.

     

    Także tylko drobny błąd rachunkowy, metoda prawidłowa 🙂

    • Ta odpowiedź została zmodyfikowana 8 miesiące, 3 tygodnie temu przez Anna Zalewska.
    #109954
    Anna Zalewska
    Nauczyciel

    Zad. 10

    Tu wszystko jest dobrze: S equals open parentheses 0 comma 2 close parentheses comma space open vertical bar B D close vertical bar equals 4 square root of 10 (podajemy dokładną wartość liczby, nie przybliżenie).

     

    Można skorzystać właśnie ze wzoru na odległość punktu od prostej:

    Mamy wtedy odległość punktu B equals open parentheses x comma space 3 x plus 2 close parentheses od prostej o równaniu y equals negative 1 third x plus 2, co przekształcamy do równania ogólnego: y equals negative 1 third x plus 2 space space rightwards double arrow space space 1 third x plus y minus 2 equals 0 space space rightwards double arrow space 1 x plus 3 y minus 6 equals 0.

    Odległość punktu B equals open parentheses x comma space 3 x plus 2 close parentheses od prostej A C colon space 1 x plus 3 y minus 6 equals 0 ma być równa połowie długości odcinka B D, czyli 1 half times 4 square root of 10 equals 2 square root of 10

    Czerwone to nasze open parentheses x subscript 0 comma y subscript 0 close parentheses ze wzoru, zielone to nasze A x plus B y plus C equals 0 ze wzoru, więc podstawiamy:

    fraction numerator open vertical bar 1 times x plus 3 times open parentheses 3 x plus 2 close parentheses minus 6 close vertical bar over denominator square root of 1 squared plus 3 squared end root end fraction equals 2 square root of 10

    fraction numerator open vertical bar x plus 9 x plus 6 minus 6 close vertical bar over denominator square root of 1 plus 9 end root end fraction equals 2 square root of 10
fraction numerator open vertical bar 10 x close vertical bar over denominator square root of 10 end fraction equals 2 square root of 10 space space space space divided by times square root of 10
open vertical bar 10 x close vertical bar equals 20 space space space space divided by colon 10
open vertical bar x close vertical bar equals 2
x equals 2 space space space logical or space space space x equals negative 2

    Doliczamy y:

    open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals 2 end cell row cell y equals 3 times 2 plus 2 equals 8 end cell end table close space space space space space logical or space space space space space open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals negative 2 end cell row cell y equals 3 times open parentheses negative 2 close parentheses plus 2 equals negative 4 end cell end table close

B equals open parentheses 2 comma 8 close parentheses space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space D equals open parentheses negative 2 comma negative 4 close parentheses

     

    Tutaj faktycznie można się zawiesić przy tym podstawianiu do wzoru na odległość punktu od prostej, bo i w jednym i w drugim mamy x i y. Ale jak się przemyśli i dobrze podstawi, to jak widać powyżej, wychodzi całkiem łatwo.

     

    Inny sposób – liczenia tyle samo, tylko nie ma tego momentu, że nie wiadomo, jak to podstawić do wzoru i co jest czym:

    odległość punktu S equals open parentheses 0 comma 2 close parentheses od punktu B equals open parentheses x comma space 3 x plus 2 close parentheses jest równa 2 square root of 10 i korzystamy ze wzoru na długość odcinka:

    open vertical bar B S close vertical bar equals square root of open parentheses x minus 0 close parentheses squared plus open parentheses 3 x plus 2 minus 2 close parentheses squared end root equals square root of x squared plus open parentheses 3 x close parentheses squared end root equals square root of x squared plus 9 x squared end root equals square root of 10 x squared end root

    square root of 10 x squared end root equals 2 square root of 10 space space space space space divided by squared
10 x squared equals 4 times 10 space space space space divided by colon 10
x squared equals 4
x equals 2 space space space space logical or x equals negative 2

  • Musisz być zalogowany aby odpowiedzieć na ten temat.