DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

Lekcja 1 – Działania na wektorach bez układu współrzędnych

Jesteś tutaj: Strona główna / Fora / Lekcja 1 – Wektory bez współrzędnych (VIDEO)

Przeglądasz 15 wpisów - od 1 do 15 (z 16 łącznie)
  • Autor
    Posty
  • #9742
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Część 1:   Część 2:   Pobierz tablice trygonometryczne (PDF) Pobierz wzory do wektorów bez współrzędnych (PDF) Pobierz Lekcję na twardy dysk
    [Zobacz cały post na stronie: Lekcja 1 – Wektory bez współrzędnych (VIDEO)]

    #10991
    Tomasz Duda Duda
    Student

    Witam

    Mam problem z zadaniem 12.
    Obliczyć kąt pomiędzy wektorami a i b,jeżeli wiadomo,że wektory p= 2a+ b i q= −4a+ 5b są wzajemnie prostopadłe, oraz wektory a i b mają tą samą długość.

    #10990
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Zadanie 12

    Wzór na cosinus kąta pomiędzy wektorami to:

     cos ( \angle \vec{a},\vec{b} )=\frac{\vec{a}\circ \vec{b}}{| {\vec{a}} || {\vec{b}} |}

    W danych mam podane, że wektory  {\vec{p}} i  {\vec{q}} są prostopadłe, więc wiemy, że:

     \vec{p}\circ \vec{q}=0

     ( 2\vec{a}+\vec{b} )\circ ( -4\vec{a}+5\vec{b} )=0

     -8\vec{a}\circ \vec{a}+10\vec{a}\circ \vec{b}-4\vec{b}\circ \vec{a}+5\vec{b}\circ \vec{b}=0

     -8{{| {\vec{a}} |}^{2}}+6\vec{a}\circ \vec{b}+5{{| {\vec{b}} |}^{2}}=0

    Z danych wynika również, że:  | {\vec{a}} |=| {\vec{b}} |, mamy więc:

     -3{{| {\vec{b}} |}^{2}}+6\vec{a}\circ \vec{b}=0

     6\vec{a}\circ \vec{b}=3{{| {\vec{b}} |}^{2}}\quad /:6

     \vec{a}\circ \vec{b}=\frac{1}{2}{{| {\vec{b}} |}^{2}}

    Podstawiam  \vec{a}\circ \vec{b}=\frac{1}{2}{{| {\vec{b}} |}^{2}} i zależność  | {\vec{a}} |=| {\vec{b}} | do ogólnego wzoru na cosinus  cos ( \angle \vec{a},\vec{b} )=\frac{\vec{a}\circ \vec{b}}{| {\vec{a}} || {\vec{b}} |}:

     cos ( \angle \vec{a},\vec{b} )=\frac{\frac{1}{2}{{| {\vec{b}} |}^{2}}}{| {\vec{b}} || {\vec{b}} |}

     cos ( \angle \vec{a},\vec{b} )=\frac{1}{2}

    Stąd, odczytując

    Tabelkę podstawowych wartości trygonometrycznych

    mamy

    Odp.  \angle \vec{a},\vec{b}=\frac{\pi }{3}

    #10989
    Tomasz Duda Duda
    Student

    -3|b|^2+6a@b=0

    z tym mialem problem dziekuje za rozwiązanie

    #10988
    Tomasz Duda Duda
    Student

    Udało mi się rozwiązać wszystkie wektory jeszcze tylko zad. 19-te

    Dany jest równoległobok ABCD, zbudowany na wektorach AB = − 2a + 3b i AD = 10a + b .
    Oblicz długość wysokości DE równoległoboku, wiedząc, że a = 4, b = 2,(Ra,b) = 3 .

    #10984
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Zadanie 19

    Rysujemy schemat:

    Liczym najpierw długość wektora  \overrightarrow{AB}:

     | \overrightarrow{AB} |=\sqrt{\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{AB}}=\sqrt{( -2\vec{a}+3\vec{b} )\circ ( -2\vec{a}+3\vec{b} )}=\sqrt{4\vec{a}\circ \vec{a}-6\vec{a}\circ \vec{b}-6\vec{b}\circ \vec{a}+9\vec{b}\circ \vec{b}}=

     =\sqrt{4{{| {\vec{a}} |}^{2}}-12\vec{a}\circ \vec{b}+9{{| {\vec{b}} |}^{2}}}=\sqrt{4\cdot {{4}^{2}}-12\vec{a}\circ \vec{b}+9\cdot {{2}^{2}}}=\sqrt{4\cdot {{4}^{2}}-12\vec{a}\circ \vec{b}+9\cdot {{2}^{2}}}=

     =\sqrt{100-12\vec{a}\circ \vec{b}}

    Przerywam.

     \vec{a}\circ \vec{b} obliczę na boku, bo mam dane  | {\vec{a}} |,  | {\vec{b}} | i kąt pomiędzy wektorami  {\vec{a}} i  {\vec{b}}.

    Mogę więc podstawić te dane wzoru:

     cos ( \angle \vec{a},\vec{b} )=\frac{\vec{a}\circ \vec{b}}{| {\vec{a}} || {\vec{b}} |}

    i mam:

     cos \frac{\pi }{3}=\frac{\vec{a}\circ \vec{b}}{4\cdot 2}

     \frac{1}{2}=\frac{\vec{a}\circ \vec{b}}{8}\quad /\cdot 8

     \vec{a}\circ \vec{b}=4

    Wracam do liczenia długości wektora  \overrightarrow{AB} i mam:

     | \overrightarrow{AB} |=\sqrt{100-12\vec{a}\circ \vec{b}}=\sqrt{100-12\cdot 4}=\sqrt{52}

    Mogę teraz policzyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach  \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}:

     P=| \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} |=| ( -2\vec{a}+3\vec{b} )\times ( 10\vec{a}+\vec{b} ) |=| -20\vec{a}\times \vec{a}-2\vec{a}\times \vec{b}+30\vec{b}\times \vec{a}+3\vec{b}\times \vec{b} |=

     \vec{a}\times \vec{a} i  \vec{b}\times \vec{b} zerują się, więc mam:

     =| -2\vec{a}\times \vec{b}-30\vec{a}\times \vec{b} |=| -32\vec{a}\times \vec{b} |=| -32 || \vec{a}\times \vec{b} |=32| \vec{a}\times \vec{b} |=32| {\vec{a}} || {\vec{b}} |sin ( \angle \vec{a},\vec{b} )=

     =32\cdot 4\cdot 2\cdot sin \frac{\pi }{3}=256\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=128\sqrt{3}

    Z drugiej strony, patrząc na schemat i korzystając z podstawówkowego wzoru na pole równoległoboku  P=ah, mam:

     P=| \overrightarrow{AB} || DE |

    Czyli:

     128\sqrt{3}=\sqrt{52}| DE |\quad /:\sqrt{52}

    Odp.  | DE |=\frac{128\sqrt{3}}{\sqrt{52}}=\frac{128\sqrt{3}}{\sqrt{4\cdot 13}}=\frac{128\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\frac{64\sqrt{39}}{13}

    • Ta odpowiedź została zmodyfikowana 1 rok, 7 miesiące temu przez Krystian Karczyński.
    #10983
    Tomasz Duda Duda
    Student

    Dziękuje właściwie to brakowało mi sinusa do obliczenia pola równoległoboku. Czy może być to ten sam kąt, który jest w treści zadania tylko zmieniamy sobie dla innej funkcji cos, sin, tg, ctg?

    #10980
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Gdy korzystamy z wzoru na pole równoległoboku musi być tam dokładnie sinus, a nie cos, tg, ctg.

    Natomiast w treści zadania, w danych, faktycznie może być każda funkcja, bo metodami ze szkoły średniej można „zamienić” dowolną funkcję trygonometryczną na dowolną inną. Czyli mając w danych np. tangens można z niego wyznaczyć sinus i podstawić ten sinus do wzoru na równoległobok.

    Jeśli dobrze zrozumiałem pytanie, oczywiście.

    #10979
    Tomasz Duda Duda
    Student

    No tak, oczywiście. Dziękuje.

    #10529
    Anonim
    Nieaktywne

    W zadaniu nr 9, długość wektora wychodzi mi: square root of 45 minus 18 square root of 2 end root

    #10503
    Krystian Karczyński
    Dyrektor

    Dobrze Panu wyszło, a ja mam błąd w odpowiedziach, przepraszam (zapomniałem o pierwiastku na końcu).

    ERRATA 19.12.2015 Zadanie 9

    Prawidłowa odpowiedź to: square root of 45 minus 18 square root of 2 end root.


     

    Poniżej zadanie krok po kroku:

    Zadanie 9

    open vertical bar x with rightwards arrow on top close vertical bar squared equals x with rightwards arrow on top ring operator x with rightwards arrow on top equals open parentheses 3 m with rightwards arrow on top minus n with rightwards arrow on top close parentheses ring operator open parentheses 3 m with rightwards arrow on top minus n with rightwards arrow on top close parentheses equals 9 m with rightwards arrow on top ring operator m with rightwards arrow on top minus 3 m with rightwards arrow on top ring operator n with rightwards arrow on top minus 3 n with rightwards arrow on top ring operator m with rightwards arrow on top plus n with rightwards arrow on top ring operator n with rightwards arrow on top equals
equals 9 open vertical bar m with rightwards arrow on top close vertical bar squared minus 6 m with rightwards arrow on top ring operator n with rightwards arrow on top plus open vertical bar n with rightwards arrow on top close vertical bar squared equals 9 \times 2 squared minus 6 m with rightwards arrow on top ring operator n with rightwards arrow on top plus 3 squared equals 45 minus 6 m with rightwards arrow on top ring operator n with rightwards arrow on top

    Liczę na boku m with rightwards arrow on top ring operator n with rightwards arrow on top korzystając ze wzoru na cosinus kąta pomiędzy wektorami:

    cos open parentheses \angle stack m comma with rightwards arrow on top n with rightwards arrow on top close parentheses equals \fraction numerator m with rightwards arrow on top ring operator n with rightwards arrow on top over denominator open vertical bar m with rightwards arrow on top close vertical bar open vertical bar n with rightwards arrow on top close vertical bar end \fraction
c o s straight \pi over 4 equals \fraction numerator m with rightwards arrow on top ring operator n with rightwards arrow on top over denominator 2 \times 3 end \fraction
\fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end \fraction equals \fraction numerator m with rightwards arrow on top ring operator n with rightwards arrow on top over denominator 6 end \fraction space space divided by \times 6
m with rightwards arrow on top ring operator n with rightwards arrow on top equals 3 square root of 2

    Mam więc:

    open vertical bar x with rightwards arrow on top close vertical bar squared equals 45 minus 6 \times 3 square root of 2
open vertical bar x with rightwards arrow on top close vertical bar squared equals 45 minus 18 square root of 2
open vertical bar x with rightwards arrow on top close vertical bar equals square root of 45 minus 6 \times 3 square root of 2 end root

    #10054
    Anonim
    Nieaktywne

    Witam.

    Mam problem z zadaniem 24: „Oblicz wysokość ostrosłupa ABCD opuszczoną z wierzchołka D mając dane: AB=x+2y+z, AC=2x+5y+4z, AD=3x+3y+5z i wiedząc że wektory x,y,z są jednostkowe i wzajemnie prostopadłe.” Nie mam pojęcia jak doprowadzić do tego wyniku z odpowiedzi, a tylko to zadanie mi zostało.

    #10051
    Kamil Kocot
    Nauczyciel

    Zadanie 24

    Obliczyć wysokość ostrosłupa ABCD opuszczoną z wierzchołka D, mając dane:

    stack A B with rightwards arrow on top equals x with rightwards arrow on top plus 2 y with rightwards arrow on top plus z with rightwards arrow on top,  stack A C with rightwards arrow on top equals 2 x with rightwards arrow on top plus 5 y with rightwards arrow on top plus 4 z with rightwards arrow on top,  stack A D with rightwards arrow on top equals 3 x with rightwards arrow on top plus 3 y with rightwards arrow on top plus 5 z with rightwards arrow on top oraz wiedząc, że wektory x with rightwards arrow on top comma y with rightwards arrow on top comma z with rightwards arrow on top są jednostkowe i wzajemnie prostopadłe.

    Rozwiązanie:

    ostr

    Obliczymy objętość:

    V equals 1 over 6 open vertical bar stack A B with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis stack A C with rightwards arrow on top cross \times stack A D with rightwards arrow on top right parenthesis close vertical bar equals 1 over 6 open vertical bar left parenthesis x with rightwards arrow on top plus 2 y with rightwards arrow on top plus z with rightwards arrow on top right parenthesis ring operator left parenthesis left parenthesis 2 x with rightwards arrow on top plus 5 y with rightwards arrow on top plus 4 z with rightwards arrow on top right parenthesis cross \times left parenthesis 3 x with rightwards arrow on top plus 3 y with rightwards arrow on top plus 5 z with rightwards arrow on top right parenthesis right parenthesis space close vertical bar.

    Zaczynamy od iloczynu wektorowego (uwzględniając, że iloczyn tych samych wektorów wynosi zero np. x with rightwards arrow on top cross \times x with rightwards arrow on top equals 0 oraz zamianę znaku np. x with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top equals negative y with rightwards arrow on top cross \times x with rightwards arrow on top):

    left parenthesis 2 x with rightwards arrow on top plus 5 y with rightwards arrow on top plus 4 z with rightwards arrow on top right parenthesis cross \times left parenthesis 3 x with rightwards arrow on top plus 3 y with rightwards arrow on top plus 5 z with rightwards arrow on top right parenthesis equals 6 x with rightwards arrow on top cross \times x with rightwards arrow on top plus 6 x with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top plus 10 x with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top plus 15 y with rightwards arrow on top cross \times x with rightwards arrow on top plus 15 y with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top plus 25 y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top plus 12 z with rightwards arrow on top cross \times x with rightwards arrow on top plus 12 z with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top plus 20 z with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top equals 6 space x with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top plus 10 space x with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top minus 15 space x with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top plus 25 space y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top minus 12 space x with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top minus 12 space y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top equals negative 9 space x with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top minus 2 space x with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top plus 13 space y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top

    Dalej mnożymy skalarnie otrzymany wektor (uwzględniając własności iloczynu mieszanego np. x with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis x with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top right parenthesis equals 0, patrz materiały do lekcji https://etrapez.pl/rodzaj/lekcja-1-wektory-bez-wspolrzednych-video/ ) :

    left parenthesis x with rightwards arrow on top plus 2 y with rightwards arrow on top plus z with rightwards arrow on top right parenthesis ring operator left parenthesis negative 9 space x with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top minus 2 space x with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top plus 13 space y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top right parenthesis space equals minus 9 x with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis x with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top right parenthesis minus 2 x with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis x with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top right parenthesis plus 13 x with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top right parenthesis space plus minus 18 y with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis x with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top right parenthesis minus 4 y with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis x with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top right parenthesis plus 26 y with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top right parenthesis space plus minus 9 z with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis x with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top right parenthesis minus 2 z with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis x with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top right parenthesis plus 13 z with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top right parenthesis equals 13 x with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top right parenthesis space minus 4 y with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis x with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top right parenthesis minus 9 z with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis x with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top right parenthesis equals 13 x with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top right parenthesis space plus 4 x with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top right parenthesis space minus 9 x with rightwards arrow on top ring operator left parenthesis y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top right parenthesis space equals 8

    Zatem V equals 8 over 6 equals 4 over 3.

    Obliczamy teraz pole podstawy rozpiętej na wektorach stack A B with rightwards arrow on top i stack A C with rightwards arrow on top:

    P equals 1 half open vertical bar stack A B with rightwards arrow on top cross \times stack A C with rightwards arrow on top close vertical bar equals 1 half open vertical bar left parenthesis x with rightwards arrow on top plus 2 y with rightwards arrow on top plus z with rightwards arrow on top right parenthesis cross \times left parenthesis 2 x with rightwards arrow on top plus 5 y with rightwards arrow on top plus 4 z with rightwards arrow on top right parenthesis close vertical bar.

    Podobnie jak poprzednio uwzględniając własności iloczynu wektorowego dostajemy:

    left parenthesis x with rightwards arrow on top plus 2 y with rightwards arrow on top plus z with rightwards arrow on top right parenthesis cross \times left parenthesis 2 x with rightwards arrow on top plus 5 y with rightwards arrow on top plus 4 z with rightwards arrow on top right parenthesis equals 2 x with rightwards arrow on top cross \times x with rightwards arrow on top plus 5 x with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top plus 4 x with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top plus 4 y with rightwards arrow on top cross \times x with rightwards arrow on top plus 10 y with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top plus 8 y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top plus 2 z with rightwards arrow on top cross \times x with rightwards arrow on top plus 5 z with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top plus 4 z with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top equals 5 x with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top plus 4 x with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top minus 4 x with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top plus 8 y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top minus 2 x with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top minus 5 y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top equals x with rightwards arrow on top cross \times y with rightwards arrow on top plus 2 x with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top plus 3 y with rightwards arrow on top cross \times z with rightwards arrow on top equals plus-or-minus z with rightwards arrow on top plus-or-minus 2 y with rightwards arrow on top plus-or-minus 3 x with rightwards arrow on top

    Uwaga: Ostatnia równość wyjaśniona w materiałach wideo do lekcji!

    Teraz

    P equals 1 half open vertical bar stack A B with rightwards arrow on top cross \times stack A C with rightwards arrow on top close vertical bar equals 1 half square root of open parentheses open vertical bar stack A B with rightwards arrow on top cross \times stack A C with rightwards arrow on top close vertical bar close parentheses ring operator open parentheses open vertical bar stack A B with rightwards arrow on top cross \times stack A C with rightwards arrow on top close vertical bar close parentheses end root equals 1 half square root of open parentheses plus-or-minus z with rightwards arrow on top plus-or-minus 2 y with rightwards arrow on top plus-or-minus 3 x with rightwards arrow on top close parentheses ring operator open parentheses plus-or-minus z with rightwards arrow on top plus-or-minus 2 y with rightwards arrow on top plus-or-minus 3 x with rightwards arrow on top close parentheses end root equals 1 half square root of open vertical bar z with rightwards arrow on top close vertical bar squared plus 4 open vertical bar y with rightwards arrow on top close vertical bar squared plus 9 open vertical bar x with rightwards arrow on top close vertical bar squared end root equals \fraction numerator square root of 14 over denominator 2 end \fraction

    Wstawiając do wzoru ze szkoły V equals 1 third P subscript p H dostajemy, że 4 over 3 equals 1 third \fraction numerator square root of 14 over denominator 2 end \fraction H, czyli H equals \fraction numerator 4 square root of 14 over denominator 7 end \fraction.

    #10031
    Anonim
    Nieaktywne

    Już mam, dziękuję za wsparcie

    #9750
    Anonim
    Nieaktywne

    Cześć. Mam pytanie dotyczące 2 części lekcji. W zadaniu nr 9 do wzoru  „rzut wektora a na b ” został wstawiony do licznika cos kąta pomiedzy a i b. Natomiast w zadaniu nr 10 nie wstawialiście do licznika cos kąta pomiedzy  m i n. Jaka jest reguła na tego typu zadania?

  • Musisz być zalogowany aby odpowiedzieć na ten temat.